如图，边长分别为 $1,2,\sqrt 5$ 的直角三角形 $PQR$ 内接于等腰直角三角形 $ABC$，直角顶点在斜边 $AB$ 上，$Q,R$ 分别在 $BC,CA$ 上，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_____．
已知正数 $x, y$ 满足 $\sqrt{9 x^2-1}+\sqrt{9 y^2-1}=9 x y$，则 $4 x^2+y^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac 34$
B．$\dfrac 89$
C．$1$
D．$\dfrac 54$
将方程 $\tan x=x$ 的所有正根从小到大依次排列，设第 $n$ 个为 $r_n$．求证：对任意正整数 $n$，都有\[0<r_{n+1}-r_n-\pi<\frac{1}{\left(n^2+n\right) \pi}.\]
已知 $a,b,c>0$ 且 $a^2+b^2=c^2$，则使不等式 $\dfrac1{32a}+\dfrac{1}{32b}+\dfrac 1c\geqslant \dfrac k{a+b+c}$ 恒成立的实数 $k$ 的最大值是_____．
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #19
将 $n$（$n\geqslant 2$）个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列 $\left\{a_n\right\}$，对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，如果 $a_i>a_j$，那么称数对 $\left(a_i,a_j\right)$ 构成数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
1、若将 $1,2,3,4$ 四个数构成的数列恰有 $2$ 个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
2、计算以下数列的逆序数．
① $a_n=-2 n+19$（$1\leqslant n\leqslant 100$）；
② $a_n=\begin{cases}\left(\dfrac 1 3\right)^n,&n~\text{为奇数},\\-\dfrac n{n+1},&n~\text{为偶数}\end{cases}$（$1\leqslant n\leqslant k$）；
3、已知数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的逆序数为 $a$，求 $a_n,a_{n-1},\cdots,a_1$ 的逆序数．
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #18
已知函数 $f(x)=(x+1)\mathrm e^{2-a x}+1$，$g(x)=(x+1)^{a x}\mathrm e^{2+(1-a) x}+1$．
1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的极值；
2、当 $a<0$ 时，讨论 $f(x)$ 零点个数；
3、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant g(x)$，求实数 $a$ 的取值范围．
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #10
有一组样本数据 $0,1,2,3,4$，随机添加一个数 $X$ 形成一组新的数据，且概率 $P(X=k)=\dfrac1{32}{\dbinom 5k}$（$k\in\{0,1,2,3,4,5\}$），则新的样本数据（ ）
A．第 $25$ 百分位数不变的概率是 $\dfrac 3{16}$
B．极差不变的概率是 $\dfrac{31}{32}$
C．平均值变大的概率是 $\dfrac 1 2$
D．方差变大的概率是 $\dfrac 7{32}$
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #8
如图，$B$ 地在 $A$ 地的正东方向 $4$ 千米处，$C$ 地在 $B$ 地的北偏东 $30^{\circ}$ 方向 $2$ 千米处，河流的沿岸 $PQ$（曲线）上任意一点到 $A$ 的距离比到 $B$ 的距离远 $2$ 千米．现要在曲线 $PQ$ 上选一处 $M$ 建一座码头，向 $B, C$ 两地转运货物．经测算，从 $M$ 到 $B, C$ 两地修建公路的费用分别是 $a$ 万元每千米和 $2 a$ 万元每千米，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．$(2\sqrt 7-2) a$ 万元
B．$5 a$ 万元
C．$(2\sqrt 7+1) a$ 万元
D．$(2\sqrt 3+3) a$ 万元
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #7
设 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，则对于任意的 $n\in ~\mathbb N^{\ast}$，均有 $a_{n+2}<a_n$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 为递减数列的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #19
如图，点 $Z(a,b)$，复数 $z=a+b\mathrm i$（$a,b\in\mathbb R$）可用点 $Z(a,b)$ 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，$x$ 轴叫做实轴，$y$ 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯豦数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数 $z=a+b\mathrm i$ 都可以表示成 $r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 的形式，即 $\begin{cases}a=r\cos\theta,\\b=r\sin\theta,\end{cases}$ 其中 $r$ 为复数 $z$ 模，$\theta$ 叫做复数 $z$ 的辐角（以 $x$ 非负半轴为始边，$\overrightarrow{OZ}$ 所在射线为终边的角），我们规定 $0\leqslant\theta<2\pi$ 范围内的辐角 $\theta$ 的值为辐角的主值，记作 $\arg z$．$r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 叫做复数 $z=a+b i$ 的三角形式，并给出复数三角形式的乘法公式：\[r_1\left(\cos\theta_1+\mathrm i\sin\theta_1\right)\cdot r_2\left(\cos\theta_2+\mathrm i\sin\theta_2\right)= r_1 r_2\left(\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+i\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)\right),\]棣莫佛提出了公式：\[\big(r(\cos\theta+i\sin\theta)\big)^n=r^n(\cos n\theta+\mathrm i\sin n\theta),\]其中 $r>0$，$n\in \mathbb N^{\ast}$．
1、已知 $z=\dfrac 1 2+\dfrac{\sqrt 3}2\mathrm i,w=\dfrac{\sqrt 2}2+\dfrac{\sqrt 2}2\mathrm i$，求 $z w+z w^3$ 的三角形式；
2、已知 $\theta_0$ 为定值，$0\leqslant\theta_0\leqslant\pi$，将复数 $1+\cos\theta_0+\mathrm i\sin\theta_0$ 化为三角形式；
3、设复平面上单位圆内接正二十边形的 $20$ 个顶点对应的复数依次为 $z_1,z_2,\cdots,z_{20}$，求复数 $z_1^{2024},z_2^{2024},\cdots,z_{20}^{2024}$ 所对应不同点的个数．
