Math173

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#8

已知集合 $\{\cos \alpha, \cos 2 \alpha, \cos 3 \alpha\}=\{\sin \alpha, \sin 2 \alpha, \sin 3 \alpha\}$，则 $\alpha$ 可以是（       ）

A．$\dfrac{\pi}{8}$

B．$-\dfrac{3 \pi}{8}$

C．$\dfrac{2 \pi}{3}$

D．$-\dfrac{\pi}{3}$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#7

圆上 $7$ 点两两连接所成线段中任取两条，这两条线段无公共点的概率为（       ）

A．$\dfrac 27$

B．$\dfrac 13$

C．$\dfrac 37$

D．$\dfrac 12$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#6

已知函数 $f(x)=\dfrac{x-1}{\mathrm e^x}$，$g(x)=|f(x)+m|$，以下结论正确的有（       ）

A．若 $f(x)=a$ 有两个解，则 $0<a<\dfrac{1}{\mathrm e^2}$

B．若 $f(x)=a$ 有两个解 $x_1, x_2$，则 $x_1+x_2>4$

C．对任意 $m\in\mathbb R$，函数 $g(x)$ 都有最小值

D．存在 $m\in\mathbb R$，使得函数 $g(x)$ 都有最大值

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#5

已知 $a,b,c\geqslant 0$，$f(a, b, c)=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$，则（       ）

A．$f(a,b,c)$ 的最大值为 $\dfrac{3}{\sqrt 2}$

B．$f(a,b,c)$ 的最小值为 $2$

C．$f(a,b,c)$ 没有最大值

D．$f(a,b,c)$ 没有最小值

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#4

已知过拋物线 $C: x^2=4 y$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，直线 $l_1$ 是抛物线在点 $A$ 处的切线，过 $B$ 作直线 $l_1$ 的平行线 $l_2$ 交 $C$ 于点 $D$，交 $y$ 轴于点 $E$．设 $A\left(x_1, y_1\right)$，$B\left(x_2, y_2\right)$，$D\left(x_3, y_3\right)$，则（       ）

A．$x_2+x_3=2 x_1$

B．$|FB|=|FE|$

C．$y_1 y_2=1$

D．$\triangle ABD$ 面积的最小值为 $16$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#3

已知点集 $S=\left\{(x, y) \mid x \leqslant 5, y \leqslant 4,~x, y \in \mathbb{N}^{\ast}\right\}$，则由 $S$ 中的点为顶点可以组成的不同的格点三角形的个数为（       ）

A．$1056$

B．$1058$

C．$1060$

D．$1062$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#2

已知正数 $a,b,c$ 满足 $5 a-3 c \leqslant b \leqslant 4 a-c$，$c \ln b \geqslant a+c \ln c$，则 $\dfrac{b}{a}$ （       ）

A．最大值为 $\dfrac 72$

B．最小值为 $\mathrm e$

C．不存在最大值

D．不存在最小值

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#1

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A(2,1)$，点 $M \in\left\{(x, y) \mid \dfrac{x^2}{200}+\dfrac{y^2}{8} \leqslant 1\right\}$，则满足 $\triangle O A M$ 的面积不大于 $3$ 的整点 $M$ 的个数为（       ）

A．$65$

B．$80$

C．$125$

D．$154$

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#20

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\sqrt{2}$，$a_{n+1}=\left[a_n\right]+\dfrac{1}{a_n-[a_n]}$，则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2024} [a_k]=$ （       ）

A．$2024^2-1$

B．$2024^2$

C．$2024^2+1$

D．以上答案都不对

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#19

在 $\triangle A B C$ 中，当 $m=\sin A+2\sin B+2\sin C$ 取得最大值时，有（       ）

A．$\sin A=\sqrt 3-1$

B．$\cos A=\sqrt 3-1$

C．$\tan A=\sqrt 3-1$

D．以上答案都不对

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