2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #11
已知 $x_1,x_2,\cdots,x_5,x_6$ 为 $1,2,\cdots,5,6$ 的任意排列，设\[\begin{split} X&=\displaystyle\min\left\{\max\left\{x_1,x_2,x_3\right\},\max\left\{x_4,x_5,x_6\right\}\right\},\\ Y&=\max\left\{\min\left\{x_1,x_2,x_3\right\},\min\left\{x_4,x_5,x_6\right\}\right\},\end{split}\]则（ ）
A．任意交换 $x_1,x_2,x_3$ 的顺序，不影响 $X$ 的取值
B．满足 $x_1<x_2<x_3$ 及 $x_4<x_5<x_6$ 的排列有 $20$ 个
C．$X=4$ 的概率为 $\dfrac 1 5$
D．$X>Y$ 的概率为 $\dfrac 9{10}$
2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #10
已知曲线 $C: 4 x|x|=y|y|-4$，点 $F_1(0,\sqrt 5)$，$F_2(0,-\sqrt 5)$，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线 $C$ 关于原点对称
B．曲线 $C$ 存在点 $P$，使得 $\left|PF_1\right|-\left|PF_2\right|=4$
C．直线 $y=2 x$ 与曲线 $C$ 没有交点
D．点 $Q$ 是曲线 $C$ 上在第三象限内的一点，过点 $Q$ 向 $y=\pm 2 x$ 作垂线，垂足分别为 $A,B$，则 $|QA|\cdot|QB|=\dfrac 4 5$
2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #8
研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩，物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班 $50$ 位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量 $x , y , z$ 若 $x , y$ 的样本相关系数为 $\dfrac{12}{13}$，$y , z$ 的样本相关系数为 $\dfrac 4 5$，则 $x , z$ 的样本相关系数的最大值为（ ）
附：相关系数\[r=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)\left(y_i-\overline y\right)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(y_i-\overline y\right)^2}}\]
A．$\dfrac{48}{65}$
B．$\dfrac{63}{65}$
C．$\dfrac{64}{65}$
D．$1$
2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #5
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_m=0$ 是 $S_n=S_{2m-n-1}$（$n<2m-1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2024年10月九省联考高三数学质量检测 #19
已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_1,f\left(a_1\right)\right)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_2,0\right)$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_2,f\left(a_2\right)\right)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_3,0\right)$，依此类推，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_n,f\left(a_n\right)\right)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_{n+1},0\right)$，其中数列 $\left\{a_n\right\}$ 称为函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1$ 的切线数列．
1、若 $f(x)=\sin x$，$\left\{a_n\right\}$ 是函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1=\dfrac{\pi}3$ 的切线数列，求 $a_2$ 的值；
2、若 $f(x)=-\dfrac 1 2 x^2+\dfrac 1 2$，$\left\{a_n\right\}$ 是函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1=-\dfrac 5 3$ 的切线数列，记 $b_n=\log_2\dfrac{a_n-1}{a_n+1}$，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
3、若 $f(x)=\dfrac x{x^2-m}$（$m>0$），是否存在 $a_1$（$a_1\neq 0$），使得函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1$ 的切线数列 $\left\{a_n\right\}$ 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的 $a_1$；若不存在，请说明理由．
2024年10月九省联考高三数学质量检测 #14
若函数 $f(x)=\dfrac x{\mathrm e^x}-m(2 x+1)$ 恰有 $2$ 个零点，则实数 $m$ 的取值范围是____．
2024年10月九省联考高三数学质量检测 #11
已知 $a\left({\rm e}^a-1\right)>(b-1)\ln b$，其中 $\rm{e}$ 是自然对数的底数，则（ ）
A．若 $a>0$，则 $\mathrm e^a>b$
B．若 $a>0$，则 $a>b$
C．若 $a<0$，则 $b {\rm e}^a<1$
D．若 $a<0$，则 $\mathrm e^a>2-b$
2024年10月九省联考高三数学质量检测 #7
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，正整数 $k\geqslant 2$．
命题 $p$：若 $S_1 S_2\cdots S_k=0$，则 $a_1 a_2\cdots a_k =0$；
命题 $q$：若 $T_1 T_2\cdots T_k=0$，则 $b_{k-1}+b_k =0$； 则（ ）
A．$p$ 是真命题，$q$ 是假命题
B．$p$ 是假命题，$q$ 是真命题
C．$p$ 与 $q$ 都是真命题
D．$p$ 与 $q$ 都是假命题
2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #19
$n$ 为不小于 $3$ 的正整数，对整数数列 $S_0: a_1,a_2,\cdots,a_n$，可以做以下三种变换： ① 将 $a_1,a_2,\cdots,a_{n}$ 中的 $a_1$ 减 $1$，$a_2$ 加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_1$ 变换； ② 取 $i\in\{2,\cdots,n-1\}$，将 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中的 $a_i$ 减 $2$，$a_{i-1},a_{i+1}$ 均加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_i$ 变换； ③ 将 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中的 $a_n$ 减 $1$，$a_{n-1}$ 加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_n$ 变换． 将数列 $S_0$ 做一次变换得到 $S_1$，将数列 $S_1$ 做一次变换得到 $S_2$，$\cdots\cdots$ 例如：$n=4$ 时，对数列 $S_0: 0,-1,1,0$ 依次做 $A_3,A_4$ 变换，意义如下： 先对 $S_0$ 做 $A_3$ 变换得到数列 $S_1: 0,0,-1,1$，再对 $S_1$ 做 $A_4$ 变换得到数列 $S_2: 0,0,0,0$．
1、$n=5$ 时，给定数列 $S_0: 0,-1,1,0,0$，求证：可以对 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $0,0,0,0,0$；
2、$n=5$ 时，求证：对任意整数数列 $S_0: a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$，若 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$，则可以对 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $0,0,0,0,0$；
3、若将变换 ① 中的 $a_2$ 改为 $a_3$，将变换 ③ 中的 $a_{n-1}$ 改为 $a_{n-2}$，在 $n=10$ 时，求证：对任意整数数列 $S_0: a_1,a_2,\cdots,a_{10}$，若 $a_1+a_2+\cdots+a_{10}=0$，且 $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$ 和 $a_2+a_4+a_6+a_8 +a_{10}$ 均为偶数，则可以对整数数列 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $\underbrace{0,0,\cdots,0}_{10~\text{个}}$．
2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #18
已知过 $A(-1,0)$，$B(1,0)$ 两点的动抛物线的准线始终与圆 $x^2+y^2=9$ 相切，该抛物线焦点 $P$ 的轨迹是某圆锥曲线 $E$ 的一部分．
1、求曲线 $E$ 的标准方程；
2、已知点 $C(-3,0)$，$D(2,0)$，过点 $D$ 的动直线与曲线 $E$ 交于 $M,N$ 两点，设 $\triangle CMN$ 的外心为 $Q$，$O$ 为坐标原点，问：直线 $OQ$ 与直线 $MN$ 的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．
