Math173

已知直线 $l$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 相切于点 $P$，$l$ 与双曲线的两条渐近线交于 $M,N$ 两点，则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值为（　　）

A．$3$
B．$4$
C．$5$
D．以上答案都不对

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设函数 $f(x)=x^2+ax-\ln x$．

（1）若 $a=1$，试求函数 $f(x)$ 的单调区间；

（2）令 $g(x)=\dfrac{f(x)}{{\rm e}^x}$，若函数 $g(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)=-\dfrac a2x^2+(a-1)x+\ln x$．

（1）若 $a=-\dfrac 12$，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

（2）若 $a>1$，求证：$(2a-1)f(x)<3{\rm e}^{a-3}$．

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已知 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，且 $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)\cdot f(y)-xy$，求所有满足条件的函数 $f(x)$．

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已知 $a\in(0,1)$，函数 $f(x)=x-\dfrac ax-(a+1)\ln x+a-1$，$g(x)=\dfrac{x+a}{x-1}\ln x$．

（1）求证：$f(x)$ 有 $2$ 个零点；

（2）当 $x\in (0,1)$ 时，求证：$g(x)$ 有最小值 $h(a)$，且 $0<h(a)<2$．

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已知函数 $f(x)=\ln (x+2a)-ax$，$a>0$．

（1）求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）记 $f(x)$ 的最大值为 $M(a)$，若 $a_2>a_1>0$ 且 $M(a_1)=M(a_2)$，求证：$a_1a_2<\dfrac 14$；

（3）若 $a>2$，记集合 $\{ x\mid f(x)=0\}$ 中的最大元素为 $x_0$，设函数 $g(x)=|f(x)|+x$，求证：$x_0$ 是 $g(x)$ 的极小值点．

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若对任意实数 $x,y\in [0,+\infty)$，$4ax\leqslant {\rm e}^{x+y-2}+{\rm e}^{x-y-2}+2$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值是（　　）

A．$\dfrac 14$
B．$\dfrac 12$
C．$1$
D．$2$

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如图，某市在海岛 \(A\) 上建了一水产养殖中心．在海岸线上有相距 \(70\) 公里的 \(B,C\) 两个小镇，并且 \(AB=30\) 公里，\(AC=80\) 公里，已知 \(B\) 镇在养殖中心工作的员工有 \(3\) 百人，\(C\) 镇在养殖中心工作的员工有 \(5\) 百人．现欲在 \(BC\) 之间建一个码头 \(D\)，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为 \(1:2\)．

（1）求 \(\sin\angle ABC\) 的大小；

（2）设 \(\angle ADB=\theta\)，试确定 \(\theta\) 的大小，使得运输总成本最少．

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在锐角 \(\triangle ABC\) 中，角 \(A,B,C\) 所对的边分别为 \(a,b,c\)，且\[\dfrac{b}{(a+c)\sin A}=\dfrac{1}{\cos\left(B+\dfrac{3\pi}2\right)}.\]

（1）求证：\(\cos B=2\cos^2A-1\)；

（2）若 \(m<\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}<n\)，求 \(n-m\) 的最小值．

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已知函数 \(f(x)={\rm e}^x-\dfrac 12ax^2\)（\(x>0\)）．

（1）当 \(a=2\) 时，求证：\(f(x)>1\)；

（2）是否存在正整数 \(a\)，使得 \(f'(x)\geqslant x^2\ln x\) 对一切 \(x>0\) 恒成立？若存在，求出 \(a\) 的最大值；若不存在，请说明理由．

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