每日一题[1089]函数方程

已知 $f:\mathbb R\to \mathbb R$,且 $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)\cdot f(y)-xy$,求所有满足条件的函数 $f(x)$


cover

分析与解 设题中等式为\[{\rm eq1}:f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)\cdot f(y)-xy.\]

${\rm eq1}$ $y\to 0$ 可得\[{\rm eq2}:f(f(x))=f(x)+f(0)\cdot f(x),\] ${\rm eq2}$ $x\to x+y$ 可得\[{\rm eq3}:f(f(x+y))=f(x+y)+f(0)\cdot f(x+y),\]根据 ${\rm eq1}$ ${\rm eq3}$ 可得\[{\rm eq4}:f(0)\cdot f(x+y)=f(x)\cdot f(y)-xy,\] ${\rm eq4}$ 中分别取 $y\to 1$ $x\to x+1,y\to -1$,可得\[\begin{split} {\rm eq5}&:f(0)\cdot f(x+1)=f(1)\cdot f(x)-x,\\{\rm eq6}&:f(0)\cdot f(x)=f(-1)\cdot f(x+1)+(x+1),\end{split}\]可解得\[{\rm eq7}:\left(f^2(0)-f(1)\cdot f(-1)\right)\cdot f(x)=\left(f(0)-f(-1)\right)\cdot x+f(0).\] ${\rm eq5}$ 中取 $ x\to -1$,可得\[f^2(0)=f(1)\cdot f(-1)+1,\]于是\[f^2(0)-f(1)\cdot f(-1)=1.\]因此由 ${\rm eq7}$ 可得\[f(x)=ax+b,\]代入 ${\rm eq2}$ 中可得\[a(ax+b)+b=ax+b+b\cdot (ax+b),\]于是\[\begin{cases} a^2=a+ab,\\ab+b=b+b^2,\end{cases}\]解得 $(a,b)=(0,0)$(舍去)或 $(a,b)=(1,0)$,因此 $f(x)=x$

经检验,$f(x)=x$ 符合题意.因此所有满足条件的函数为 $f(x)=x$

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论