Math173

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$，直线 $AB$ 过定点 $Q(-1,0)$，定点 $P(1, 0)$，$PA,PB$ 分别交椭圆于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，求证：$CD$ 过定点，且 $CD$ 与 $AB$ 的斜率之比为定值．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，过定点 $P(1,0)$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，动点 $C$ 在直线 $x=4$ 上，直线 $CA,CB,CP$ 的斜率分别是 $k_1,k_2,k_3$，求证：$k_1+k_2=2k_3$．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 上两点 $A,B$，直线 $AB$ 过点 $P(1,0)$，点 $A$ 在直线 $x=4$ 上的投影为点 $C$，求证：直线 $BC$ 过定点．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=m$（$m>1$）上的两点 $A,B$，$P(0,1)$ 且 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，则 $B$ 点横坐标的最大值为_____．

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1$ 上两点 $A(-2,0),B(-4,3)$，点 $P$ 为双曲线上动点，且分别过点 $B,A$ 作平行于 $AP,BP$ 的直线交双曲线于不同于 $A,B$ 的点 $M,N$．

1、求证：存在常数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\lambda\overrightarrow{OP}$；

2、求证：$\triangle PMN$ 的面积为定值．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左顶点为 $A$，椭圆上两点 $P,Q$ 关于 $y$ 轴对称，$O$ 为坐标原点，$AB\parallel OP$ 且 $B\ne Q$，求证：$BQ\parallel AP$．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$，过椭圆第一象限的一点 $A$ 作斜率为 $\dfrac 12,-\dfrac 12$ 的直线分别交椭圆于不同于 $A$ 的点 $M,N$，$P$ 为 $MN$ 中点，$MN,AP$ 分别交 $x$ 轴于 $H,Q$，且 $|HQ|=3$，求点 $A$ 的坐标．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 上两点 $M,N$，直线 $MN$ 的斜率为 $1$，$P,M$ 关于 $x$ 轴对称，以 $PN$ 为直径的圆与 $x$ 轴交于点 $D,E$，$|OD|\geqslant |OE|$，求 $\dfrac{|OD|}{|OE|}$．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上四点 $A,B,C,D$，$AB,CD$ 交于定点 $P(x_0,y_0)$，$AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，斜率分别为 $k_1,k_2$，若 $\alpha k_1k_2+\beta(k_1+k_2)+\gamma =0$，求证：$MN$ 过定点．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上一点 $A(x_1,y_1)$，过 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆于另一点 $Q$，$O$ 为坐标原点．

1、若 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆上一点，且 $AQ\parallel OP$，求 $Q$ 点坐标（即 $A\xrightarrow{\overrightarrow{OP}} Q$）；

2、若 $P(x_0,y_0),B(x_2,y_2)$ 是椭圆上两点，且 $AQ\parallel BP$，求 $Q$ 点坐标（即 $A\xrightarrow{\overrightarrow{BP}} Q$）．

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