Math173

已知双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 上的动点 $P$，则 $P$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离的最小值为_____．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$，过定点 $P(0,-2)$ 的直线交椭圆于 $A,B$，$\triangle OAB$ 的面积为 $\sqrt 2$，则 $|AB|=$_____．

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已知直角三角形 $ABC$ 中，$B$ 为直角，$AB=2$，$BC=1$，点 $P$ 在以 $A$ 为圆心半径 $r=1$ 的圆上，则 $\dfrac{PB}{PC}$ 的取值范围是_____．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，过 $F_1,F_2$ 且互相垂直的直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别交椭圆于 $A,B$ 和 $C,D$，设直线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $P$，求点 $P$ 的轨迹方程．

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已知椭圆 $\dfrac{y^2}4+\dfrac{x^2}3=1$ 的左、右顶点分别为 $A,B$，弦 $CD$ 与圆 $x^2+y^2=3$ 相切（$C$ 点位于 $D$ 点左侧），设直线 $AC,BD$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求证：$k_1k_2$ 为定值．

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}2-y^2=1$ 上两定点 $A(-2,1),B(2,1)$，过定点 $Q(0,-3)$ 的直线与双曲线交于点 $C,D$，直线 $AC,BD$ 交于点 $P$，求证：点 $P$ 在定圆上．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，$M(2,0)$ 为其右顶点，过定点 $P(2,3)$ 作动直线与椭圆交于 $A,B$，求证：直线 $x+2y-2=0$ 上存在定点 $N$，使 $\angle MNA=\angle MNB$．

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已知双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$，$A,B,C,D$ 是双曲线上动点，且 $AB$ 过定点 $P(0,1)$，$AC$ 过定点 $Q(3,1)$，$BD$ 过定点 $R(-3,1)$，求证：$CD$ 过定点．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$，定点 $A(2,1),B(3,-2)$，点 $P$ 是椭圆上的动点，直线 $PA,PB$ 分别交椭圆于不同于 $P$ 的点 $M,N$，求证：直线 $MN$ 过定点．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$，定点 $P(2,1),Q(0,3)$，过 $P$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，直线 $QA$ 交直线 $x+y=1$ 于 $C$，设直线 $AC,BC$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求证：$\frac{1}{k_1+1}-\frac{1}{k_2+1}$ 为定值．

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