每日一题[1905]判别式法

已知 $x,y>0$ 且 $x+\dfrac{1}{2x}+2y+\dfrac 1y=6$,若 $xy$ 的最大值为 $M$,最小值为 $m$,则 $M+m=$ _______.

答案    $\dfrac{13}4$.

解析    设 $xy=t$,则 $y=\dfrac tx$,于是\[x+\dfrac 1{2x}+\dfrac{2t}x+\dfrac xt=6\iff \left(1+\dfrac 1t\right)x^2-6x+\left(\dfrac 12+2t\right)=0,\]对应的判别式\[\Delta=\dfrac{-8t^2+26t-2}t\geqslant 0,\]因此 $M+m=\dfrac{26}8=\dfrac {13}4$.

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