Math173

将一段长为 $1$ 的绳子对折 $n$ 次（$n\in\mathbb N^{\ast}$），然后从中间剪断，可以得到_____段绳子，它们的长度分别是_____．

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已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 作互相垂直的直线分别交抛物线于 $A,B$ 和 $C,D$，弦 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，直线 $AC,BD$ 交于点 $G$，求 $\triangle GMN$ 的面积的最小值．

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有下列命题：

① $\exists x\in A,x\in B$；

② $\exists x\in A,x\notin B$；

③ $\forall x\in A,x\in B$；

④ $\forall x\in A,x\notin B$．

$(1)$ 当 $A=\varnothing$ 时，一定是真命题的有____，一定是假命题的有____；

$(2)$ 当 $B=\varnothing$ 时，一定是真命题的有____，一定是假命题的有____．

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，以右焦点 $F_2$ 为焦点的抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）与双曲线交于第一象限的 $P$ 点，若 $|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|$，则双曲线的离心率 $e=$ （       ）

A．$2$

B．$5$

C．$\dfrac {\sqrt 2+1}2$

D．$\dfrac {\sqrt 5+1}2$

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}9-\dfrac{y^2}8=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，$O$ 为坐标原点，$P$ 是双曲线上位于第一象限的一动点，直线 $PF_1,PF_2$ 分别交双曲线于不同于 $P$ 点的点 $A,B$，$\triangle OAB,\triangle PAB$ 的面积分别记为 $S_1,S_2$，且 $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{9}{52}$，求点 $P$ 的坐标．

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已知抛物线 $y^2=2x$，过定点 $(1,0)$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，坐标原点 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，直线 $CA,CB$ 分别交 $y$ 轴于点 $M,N$，设 $ \triangle CMN,\triangle AOB $ 的面积分别为 $ S_1,S_2 $，则 $ \dfrac{S_1}{S_2}$ 的取值范围是_____．

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已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，$C$ 是抛物线上的动点，且 $\triangle ABC$ 的重心在 $x$ 轴上，$E$ 点是 $x$ 轴上位于 $F$ 右侧的点，设 $S_1,S_2$ 分别是 $\triangle AFG,\triangle CEG$ 的面积，则 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值为_____，当 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 取得最小值时点 $G$ 的横坐标为_____．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 的左、右顶点分别为 $A,C$，$P\left(1,\dfrac 32\right)$ 是椭圆上一点，$B$ 是椭圆实轴上一点，直线 $PB$ 交椭圆于不同于点 $P$ 的点 $D$，若 $\triangle APB$ 与 $\triangle BCD$ 面积之差为 $\dfrac 32$，则点 $D$ 的坐标为_____．

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2025年高考全国II卷 #19

甲、乙两人练习乒乓球，每个球胜者得 $1 $ 分，负者得 $ 0$ 分．设每个球甲胜的概率为 $p$（$\dfrac{1}{2}<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立．对正整数 $k \geqslant 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 $ 2 $ 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 $2 $ 分的概率．

1、求 $p_3, p_4$（用 $p$ 表示）；

2、若 $\dfrac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$；

3、证明：对任意正整数 $m$，均有 $p_{2 m+1}-q_{2 m+1}<p_{2 m}-q_{2 m}<p_{2 m+2}-q_{2 m+2}$．

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