2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #8
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $a_1=2$，$n a_n=S_n+S_{n-1}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$），数列 $\left\{2^n S_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则下列不等式正确的是（ ）
A．$T_{20}<2^{30}$
B．$T_{20}>2^{35}$
C．$T_{30}<2^{40}$
D．$T_{30}>2^{45}$
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #7
已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac 1 2 x-a$（$a\in\mathbb R$），若存在 $m\in\left[1,\mathrm e^2\right]$（$\mathrm e$ 为自然对数的底数），使得 $f(f(m))=m$，则实数 $a$ 的取值范围是[[nn]]
A．$\left[2-\dfrac 1 2 \mathrm e^2,-1+\ln 2\right]$
B．$\left[1-\dfrac{\mathrm e} 2,-1+\ln 2\right]$
C．$\left[-\dfrac 1 2,1-\dfrac{\mathrm e}2\right]$
D．$\left[-\dfrac 1 2,0\right]$
2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #19
将 $2 N$ 项数列 $\left(a_1,a_2\cdots,a_N,b_1,b_2,\cdots,b_N\right)$ 重新排序为 $\left(b_1,a_1,b_2,a_2,\cdots,b_N,a_N\right)$ 的操作称为一次洗牌，即排序后的新数列以 $b_1$ 为首项，将 $a_i$ 排在 $b_i$ 之后，将 $b_{i+1}$ 排在 $a_i$ 之后．对于数列 $(1,2,\cdots,2 N)$，将洗牌后得到的新数列中数字 $k$ 的位置定义为 $f(k)$．例如，当 $N=3$ 时，数列 $(1,2,3,4,5,6)$ 经过一次＂洗牌＂后变为 $(4,1,5,2,6,3)$，此时 $f(1)=2$，$f(2)=4$，$f(3)=6$，$f(4)=1$，$f(5)=3$，$f(6)=5$．
1、写出数列 $(1,2,3,4,5,6,7,8)$ 经过 $3$ 次洗牌后得到的新数列；
2、对于满足 $1\leqslant k\leqslant 2 N$ 的任意整数 $k$，求经过一次洗牌后 $f(k)$ 的解析式；
3、当 $N=2^{n-1}$（其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$）时，数列 $(1,2,\cdots,2 N)$ 经过若干次洗牌后能否还原为 $(1,2,\cdots,2 N)$？如果能，请说明至少需要多少次洗牌；如果不能，请说明理由．
2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #18
已知 $\triangle DEF$ 的顶点 $E$ 在 $x$ 轴上，$F\left(\dfrac 1 4,0\right)$，$|DF|=|EF|$，且边 $DE$ 的中点 $M$ 在 $y$ 轴上，设 $D$ 的轨迹为曲线 $\Gamma$． 1、求 $\Gamma$ 的方程；
2、若正三角形 $ABC$ 的三个顶点都在 $\Gamma$ 上，且直线 $AB$ 的倾斜角为 $45^{\circ}$，求 $|AB|$．
2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #13
记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ 且 $\dfrac 1{\tan A}+\dfrac 2{\tan B}=\dfrac 3{\tan C}$，则 $\dfrac{c^2}{a^2+2 b^2}=$ _____．
2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #8
已知直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\dfrac{\pi}4$，若直线 $n\subset\alpha$，直线 $m\subset\beta$，设 $m$ 与 $n$ 的夹角为 $\theta_1$，$\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角为 $\theta_2$，则[[nn]]
A．$\theta_1\geqslant\dfrac{\pi}4$，$\theta_2\geqslant\dfrac{\pi}4$
B．$\theta_1\geqslant\dfrac{\pi}4$，$\theta_2\leqslant\dfrac{\pi}4$
C．$\theta_1\leqslant\dfrac{\pi}4$，$\theta_2\geqslant\dfrac{\pi}4$
D．$\theta_1\leqslant\dfrac{\pi}4$，$\theta_2\leqslant\dfrac{\pi}4$
2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #19
在正整数 $1,2, \cdots, n$（$n \geqslant 2$）的任意一个排列 $A: a_1, a_2, \cdots, a_n$ 中，对于任意 $i, j \in \mathbb{N}^{\ast}$，$i<j$，若 $a_i<a_j$，则称 $(a_i,a_j)$ 为一个顺序对，若 $a_i>a_j$，则称 $(a_i,a_j)$ 是一个逆序对．记排列 $A$ 中顺序对的个数为 $S(A)$，逆序对的个数为 $N(A)$．例如对于排列 $A: 2,1,3$，有 $S(A)=2$，$N(A)=1$．
1、设排列 $B: 2,4,1,3$ 和 $C: 5,3,1,4,2$，试写出 $S(B), N(B), S(C),N(C)$ 的值．
2、对于正整数 $1,2, \cdots, n$（$n \geqslant 2$）的所有排列 $A$，求满足 $S(A)=2$ 的排列个数；
3、如果把排列 $A: a_1, a_2, \cdots, a_n$ 中两项 $a_i, a_j$（$i<j$）交换位置，而其余项的位置保持不变，那么就得到了一个新的排列 $A^{\prime}$，求证：$\left(S(A)-S\left(A^{\prime}\right)\right) \cdot\left(N(A)-N\left(A^{\prime}\right)\right)$ 为奇数．
2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #17
已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，长轴长与短轴长之和为 $ 6$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、已知 $M(-1,0), N(1,0)$，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，设直线 $P M$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为点 $B$，直线 $P N$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为点 $D$．设 $\overrightarrow{P M}=\lambda_1 \overrightarrow{M B}$，$\overrightarrow{P N}=\lambda_2 \overrightarrow{N D}$．求证：当点 $P$ 在椭圆 $C$ 上运动时，$\lambda_1+\lambda_2$ 为定值．
2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #16
如左图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$Q_1, Q_2$ 分别为正方形 $A B C D,A_1 B_1 C_1 D_1$ 的中心，现保持平面 $A B C D$ 不动，在上底面 $A_1 C_1$ 内将正方形 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 绕点 $Q_2$ 逆时针方向旋转 $45^{\circ}$，得到如右图所示的一个十面体 $A B C D-E F G H$．
1、证明：$E F\parallel ~\text{平面}~A B C D$；
2、设 $Q_1 Q_2$ 的中点为 $O$，求点 $O$ 到平面 $D B E$ 的距离；
3、求平面 $D B E$ 与平面 $D B G$ 所成角的余弦值．
2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #14
随机将 $1,2, \cdots, 2 n$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$，$n \geqslant 2$）这 $2 n$ 个连续正整数分成 $A, B$ 两组，每组 $n$ 个数，$A$ 组最大数为 $a$，$B$ 组最大数为 $b$，记 $\xi=|a-b|$．当 $n=3$ 时，$\xi$ 的数学期望 $E(\xi)=$ _____；若对任意 $n \geqslant 2$，$E(\xi)<c$ 恒成立，则 $c$ 的最小值为_____．
