Math173

2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #10

$2023$ 年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从 $2$ 月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多 $200$ 万元，乙公司每个月盈利比前一个月增加 $10\%$．记甲、乙两公司在 $2023$ 年第 $n$ 个月的盈利分别为 $Q_1(n),Q_2(n)$（单位：万元）．已知 $Q_1(1)=1200$，$Q_2(1)=1100$，则 $Q_1(n)-Q_2(n)$ 最大时，$n$ 的值为[[nn]] （参考数据：$\lg 1.1\approx 0.0414$，$\lg 2\approx 0.3010$）

A．$7$

B．$8$

C．$9$

D．$10$

继续阅读 →

用 $\operatorname{card}(X)$ 表示有限集 $X$ 中元素的个数．若 $\operatorname{card}(A\cup B)=30$，$\operatorname{card}(A\cup C)=40$，$\operatorname{card}(B\cup C)=50$，则 $\operatorname{card}(A\cup B\cup C)$ 的取值范围是_____．

继续阅读 →

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #19

已知关于 $x$ 的方程 $x^2-ax+9a=0$ 的解均为正整数，则实数 $a$ 的所有可能取值个数为_____．

继续阅读 →

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #15

在 $3\times 3$ 的数表中填入 $9$ 个自然数，使得每行、每列的三个数之和均为 $3$，共有_____种不同的填法．

继续阅读 →

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #14

已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_n+a_{n-1}=2+\dfrac{3n^2+n}{a_n-a_{n-1}}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$），则 $a_{2025}=$ _____．

继续阅读 →

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #13

已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=45$，$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1012}{1013}$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值是_____．

继续阅读 →

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #11

已知不等式 $a_n^2+\left(\dfrac{S_n}n\right)^2\geqslant \lambda a_1^2$ 对任意等差数列 $\{a_n\}$ 以及正整数 $n$ 都成立，其中 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $\lambda$ 的最大值为_____．

继续阅读 →

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #8

在复平面上复数 $z_1,z_2$ 对应的点分别为 $Z_1,Z_2$，$O$ 为原点，若 $|z_1|=4$，$4z_1^2-2z_1z_2+z_2^2=0$，则 $\triangle OZ_1Z_2$ 的面积为_____．

继续阅读 →

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #7

已知 $(5+x-5x^2)^{1012}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2024}x^{2024}$，则 $2a_1+4a_3+6a_5+\cdots+2024 a_{2023}=$ _____．

继续阅读 →

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #5

已知 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $m,n\leqslant 1000$，则 $\dfrac m{n+1}<\sqrt 3<\dfrac{m+1}n$ 的解 $(m,n)$ 的个数为_____．

继续阅读 →