Math173

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1=1$，$a_2=a$．

1、若数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，且 $a_8=15$，求实数 $a$ 的值；

2、若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}-a_n=2$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），且 $S_{19}=19 a_{10}$，求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列；

3、设数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，试探究当正实数 $a$ 满足什么条件时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有如下性质 $M$：对于任意的 $n\geqslant 2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），都存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 使得 $\left(S_m-a_n\right)\left(S_m-a_{n+1}\right)<0$，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数 $a$ 的集合．

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已知公差不为零的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 和等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，且 $a_1,2 a_2,4 a_4$ 成等比数列，$4 b_2,2 b_3,b_4$ 成等差数列．

1、求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；

2、令 $c_n=3^{a_n}$，去掉数列 $\left\{c_n\right\}$ 中的第 $3 n$ 项（$n\in \mathbb N^{\ast}$），余下的项顺序不变，构成新数列 $\left\{t_n\right\}$，求数列 $\left\{t_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$；

3、令 $d_n=\dfrac{a_n}{b_n}$，记数列 $\left\{d_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，数列 $\left\{\dfrac 1{a_n^2}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $A_n$，若数列 $\left\{p_n\right\}$ 满足 $p_1=d_1$，且对任意 $n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $p_n=\dfrac{T_{n-1}}{n^2}+A_n d_n$，设 $\left\{p_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $E_n$，若对任意 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 都有 $m>E_n$ 成立，求正整数 $m$ 的最小值． （参考数据：$\displaystyle\sum_{i=1}^{20}\dfrac 1{i^2}\approx 1.59616$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{20}\dfrac i{2^{i-1}}\approx 3.99996$）

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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_2=3$，$a_{n+1}=S_n+n+1$．

1、证明：数列 $\left\{a_n+1\right\}$ 是等比数列．

2、设 $b_n=\log_2\left(a_n+1\right)$，求数列 $\left\{a_n b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$．

3、设 $c_n=\begin{cases}a_n,&n=2 k-1,\\a_n+2,&n=2 k,\end{cases}$ 其中 $k\in \mathbb N^{\ast}$，证明：$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac 1{c_i}<\dfrac 3 2$．

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已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点，过点 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 于 $D,E$ 两点，其中 $B,D$ 在 $x$ 轴上方，$M,N$ 分别为 $AB,DE$ 的中点．当 $l\perp x$ 轴时，$|AB|=\sqrt 2$，椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．

1、求椭圆 $C$ 的标准方程；

2、证明：直线 $MN$ 过定点，并求定点坐标；

3、设 $G$ 为直线 $AE$ 与直线 $BD$ 的交点，$\triangle GMN$ 面积为 $\dfrac 9{20}$，求直线 $AB$ 的方程．

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已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上、下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，且点 $\left(1,\dfrac{\sqrt 6}2\right)$ 在椭圆上．

1、求椭圆 $C$ 的离心率及标准方程；

2、过点 $P(0,1)$ 且斜率存在的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，问在 $y$ 轴上是否存在与点 $P$ 不同的定点 $Q$，使得 $\dfrac{|QA|}{|QB|}=\dfrac{[{\triangle APQ}]}{[{\triangle BPQ}]}$ 恒成立？若存在 $Q$ 求出定点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，$M\left(1,\dfrac 3 2\right)$ 为 $C$ 上一点，且在 $\triangle F_1 MF_2$ 中，$\tan\angle MF_1 F_2=\dfrac 3 4$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、过点 $P(1,3)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的上方），线段 $AB$ 上存在点 $Q$，使得 $\dfrac{|PA|}{|PB|}=\dfrac{|QA|}{|QB|}$，求 $\left|QF_1\right|+\left|QF_2\right|$ 的最小值．

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已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $D(0,3)$，四个顶点组成的四边形面积为 $18\sqrt 2$．

1、求椭圆 $E$ 的方程；

2、过点 $T(0,1)$ 的直线与椭圆 $E$ 交于两点 $A,B$，交 $x$ 轴于点 $Q$，直线 $DA,DB$ 与直线 $y=t$ 分别交于点 $M,N$，线段 $MN$ 的中点为 $P$．是否存在实数 $t$，使得以 $PQ$ 为直径的圆总与 $y$ 轴相切？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的左顶点为 $A$，右顶点为 $B$，满足 $|A B|=4$，且椭圆 $E$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．

1、求椭圆 $E$ 的标准方程；

2、已知点 $T\left(t, \dfrac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 的内部，直线 $A T$ 和直线 $B T$ 分别与椭圆 $E$ 交于另外的点 $C$ 和点 $D$，若 $\triangle C D T$ 的面积为 $\dfrac{1}{17}$，求 $t$ 的值．

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 且斜率为 $\sqrt 3$ 的直线 $l$ 交双曲线右支于点 $A$（在第一象限），$\triangle AF_1 F_2$ 的内心为 $I$，直线 $AI$ 交 $x$ 轴于点 $P$，且 $|AI|=2|IP|$，则双曲线的离心率为_____．

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已知三棱锥 $D-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，$AD\perp BD$，$AC\perp BC$，$\angle DAB=\angle CBA=30^{\circ}$，二面角 $D-AB-C$ 的大小为 $60^{\circ}$，若球 $O$ 的表面积等于 $36\pi$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积等于[[nn]] A．$\sqrt 3$ B．$\dfrac{27\sqrt 3}8$ C．$\sqrt 7$ D．$\dfrac{2\sqrt 7}3$已知三棱锥 $D-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，$AD\perp BD$，$AC\perp BC$，$\angle DAB=\angle CBA=30^{\circ}$，二面角 $D-AB-C$ 的大小为 $60^{\circ}$，若球 $O$ 的表面积等于 $36\pi$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积等于（       ）

A．$\sqrt 3$

B．$\dfrac{27\sqrt 3}8$

C．$\sqrt 7$

D．$\dfrac{2\sqrt 7}3$

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