关于函数 $f(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：
① $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称．
② $f(x)$ 的图象关于原点对称．
③ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称．
④ $f(x)$ 的最小值为 $2 $．
其中所有真命题的序号是_______．
已知 $5^{5}<8^{4}$，$13^{4}<8^{5}$．设 $a=\log _{5} 3$，$ b=\log _{8} 5$，$ c=\log _{13} 8$，则（ ）
A．$a<b<c$
B．$b<a<c$
C．$b<c<a$
D．$c<a<b$
已知函数 $f(x)=2\ln x+1$．
1、若 $f(x)\leqslant 2x+c$，求 $c$ 的取值范围．
2、设 $a>0$，讨论函数 $g(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的单调性．
若 $2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}$，则（ ）
A．$\ln(y-x+1)>0$
B．$\ln (y-x+1)<0$
C．$\ln |x-y|>0$
D．$\ln |x-y|<0$
已知函数 $f(x)=\sin^2x\cdot \sin 2x$．
1、讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 内的单调性．
2、证明：$|f(x)|\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}8$．
3、设 $n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：$\sin ^2x\sin^2(2x)\sin^2(4x)\cdots\sin^2(2^nx)\leqslant \dfrac{3^n}{4^n}$．
如图，已知三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面是正三角形，侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形，$M,N$ 分别为 $BC,B_1C_1$ 的中点，$P$ 为 $AM$ 上一点．过 $B_1C_1$ 和 $P$ 的平面交 $AB$ 于 $E$，交 $AC$ 于 $F$．
1、证明：$AA_1\parallel MN$，且 $A_1AMN\perp EB_1C_1F$．
2、设 $O$ 为 $\triangle A_1B_1C_1$ 的中心．若 $AO\parallel EB_1C_1F$，且 $AO=AB$，求直线 $B_1E$ 与平面 $A_1AMN$ 所成角的正弦值．
已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合，$C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_1$ 于 $A,B$ 两点，交 $C_2$ 于 $C,D$ 两点，且 $|CD|=\dfrac 43|AB|$．
1、求 $C_1$ 的离心率．
2、设 $M$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点．若 $|MF|=5$，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程．
设有下列四个命题：
$p_1$：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
$p_2$：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
$p_{3}$：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
$p_{4}$：若直线 $l \subset$ 平面 $\alpha$，直线 $m \perp$ 平面 $\alpha$，则 $m \perp l$．
则下述命题中所有真命題的序号是_______．
① $p_1\land p_4$；
② $p_1\land p_2$；
③ $\neg p_2\lor p_3$；
④ $\neg p_3\lor \neg p_4$．
$0\text{ - }1$ 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$ 满足 $a_{i} \in\{0,1\}$（$i=1,2, \cdots$），且存在正整数 $m$，使得 $a_{i+m}=a_{i}$（$i=1,2, \cdots$）成立，则称其为 $0\text{ - }1$ 周期序列，并称满足 $a_{i+m}=a_i$（$i=1,2,\cdots$）的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期．对于周期为 $m$ 的 $0\text{ - }1$ 序列 $a_1a_2\cdots a_n\cdots$，$C(k)=\displaystyle\dfrac 1m\sum_{i=1}^ma_ia_{i+k}$（$k=1,2,\cdots,m-1$）是描述其性质的重要指标．下列周期为 $5$ 的 $0\text{ - }1$ 序列中，满足 $C(k)\leqslant \dfrac 15$（$k=1,2,3,4$）的序列是[[nn]]．
A．$11010 \cdots$
B．$11011 \cdots$
C．$10001 \cdots$
D．$11001\cdots$
已知函数 $f(x)={\rm e}^x+ax^2-x$．
1、当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant \dfrac 12x^3+1$，求 $a$ 的取值范围．
