每日一题[2006]相信直觉

$0\text{ - }1$ 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$ 满足 $a_{i} \in\{0,1\}$($i=1,2, \cdots$),且存在正整数 $m$,使得 $a_{i+m}=a_{i}$($i=1,2, \cdots$)成立,则称其为 $0\text{ - }1$ 周期序列,并称满足 $a_{i+m}=a_i$($i=1,2,\cdots$)的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期.对于周期为 $m$ 的 $0\text{ - }1$ 序列 $a_1a_2\cdots a_n\cdots$,$C(k)=\displaystyle\dfrac 1m\sum_{i=1}^ma_ia_{i+k}$($k=1,2,\cdots,m-1$)是描述其性质的重要指标.下列周期为 $5$ 的 $0\text{ - }1$ 序列中,满足 $C(k)\leqslant \dfrac 15$($k=1,2,3,4$)的序列是[[nn]].

A.$11010 \cdots$

B.$11011 \cdots$

C.$10001 \cdots$

D.$11001\cdots$

答案    C.

解析    直觉上 $0\text{ - }1$ 序列中的 $0$ 越多,对 $C(k)\leqslant \dfrac 15$ 成立越有利.首先从选项 $\boxed{C}$ 开始验证,有\[\begin{array}{c|cccc}\hline k&1&2&3&4\\ \hline C(k)&1&0&0&1\\ \hline\end{array}\]符合题意.选项 $\boxed{A}$ 中,$C(2)=2$;选项 $\boxed{B}$ 中,$C(1)=3$;选项 $\boxed{D}$ 中,$C(1)=2$,均不符合题意.

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