已知 $AB$ 为圆 $\omega$ 的弦，$P$ 在弦 $AB$ 上，圆 $\omega_1$ 过点 $P$ 且与圆 $\omega$ 内切于点 $A$，圆 $\omega_2$ 过点 $P$ 且与圆 $\omega$ 内切于点 $B$．圆 $\omega_1$ 和圆 $\omega_2$ 相交于点 $P,Q$，直线 $PQ$ 交圆 $\omega$ 于点 $X,Y$，且 $AP=5$，$PB=3$，$XY=11$，且 $PQ^2$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．
如果 $n$ 能被 $k$ 整除且 $n$ 恰好有 $k$ 个正约数，则称 $n$ 为 $k$ 性质数．例如 $18$ 能被 $6$ 整除，且 $18$ 恰好有 $1,2,3,6,9,18$ 共 $6$ 个约数，因此 $18$ 为 $6$ 性质数．设 $S$ 为不超过 $2019$ 的所有 $20$ 性质数之和，则 $\dfrac{S}{20}=$________．
关于 $x$ 的三次方程 $x^{3} - 15x^{2} + kx - 1105=0$ 的三个复根在复平面上的对应点共线，求正整数 $k$ 的值．
在火星文明中，所有未指定底数对数的底数都默认为 $b$（$b\geqslant 2$），一位火星学生写下方程组\[\begin{cases} 3 \log (\sqrt{x} \log x) =56, \\ \log _{\log x}(x) =54,\end{cases}\]且发现这个方程组只有唯一一个大于 $1$ 的实数解，则 $b=$ _______．
一张圆桌配有按顺序编号为 $1,2,\cdots,12$ 的一圈椅子，安排四位大使和他们的顾问（每位大使均有一位顾问）入座．每位大使都必须安排坐在编号为偶数的椅子上，每位顾问必须安排在对应的大使的旁边，则不同的安排方法数模 $1000$ 的余数为_______．
已知正整数 $a,b,c,d,e,f,g$ 满足\[\begin{cases} abc=70,\\ cde=71,\\ efg=72,\end{cases}\]则符合要求的解 $ (a, b, c, d, e, f, g) $ 的个数为_______．
已知池塘中有按顺序编号为 $1,2,3,\cdots$ 的一列荷叶，一只青蛙从 $1$ 号荷叶出发进行跳跃．当青蛙位于 $k$ 号荷叶时，等可能的跳到 $k+1$ 或 $k+2$ 号荷叶．设青蛙在行经过程中会落在 $7$ 号荷叶的概率的最间分数表示为 $\dfrac pq$，则 $p+q=$_______．
已知 $C,D$ 在直线 $AB$ 的同侧，$\triangle ABC\cong \triangle BAD$，且 $AB=9$，$BC=AD=10$，$CA=DB=17$．设这两个三角形的公共部分的面积的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．
已知 $AB$ 为圆 $\omega$ 的弦，$P$ 在弦 $AB$ 上，圆 $\omega_1$ 过点 $P$ 且与圆 $\omega$ 内切于点 $A$，圆 $\omega_2$ 过点 $P$ 且与圆 $\omega$ 内切于点 $B$．圆 $\omega_1$ 和圆 $\omega_2$ 相交于点 $P,Q$，直线 $PQ$ 交圆 $\omega$ 于点 $X,Y$，且 $AP=5$，$PB=3$，$XY=11$，且 $PQ^2$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．
