已知 $\triangle ABC$ 的内切圆 $\omega$ 与 $BC$ 切于点 $X$，设 $AX$ 与圆 $\omega$ 交于不同于 $X$ 的点 $Y$，过 $Y$ 作圆 $\omega$ 的切线与 $AB,AC$ 分别交于点 $P,Q$，且 $AP=3$，$PB=4$，$AC=8$，$AQ$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$_______．
${\rm Misha}$ 不停的投掷一个正方体骰子，直到连续三次按顺序投出 $1,2,3$ 为止，设她停止时投掷次数为奇数次的概率的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$_______．
设 $ABCD$ 是四边长分别为 $AB=CD=10$，$BC=14$，$AD=2\sqrt{65}$ 的凸四边形．设 $ABCD$ 的对角线交于点 $P$，且 $\triangle APB$ 与 $\triangle CPD$ 的面积之和与 $\triangle BPC$ 与 $\triangle APD$ 的面积之和相等，则四边形 $ABCD$ 的面积为_______．
在 $1,2,3,4,5,6$ 的排列中，满足对 $k=1,2,3,4,5$ 都有排列的前 $k$ 项中至少有一个数比 $k$ 大的排列的个数为_______．
已知 $A=\{1,2,3,4,5\}$，$f$ 是从 $A$ 到 $A$ 的映射，则对任意 $A$ 中的元素 $x$，都有 $f(f(x))=f(f(f(x)))$ 的不同映射 $f$ 的个数为_______．
从 $23\times 27$ 的矩形的四个角各切掉一个三边长分别为 $6,8,10$ 的直角三角形得到八边形 $ABCDEFGH$，$AB=CD=EF=GH=10$ 且 $BC=DE=FG=HA=11$，如图．设 $J$ 是 $HA$ 的中点，且 $JB,JC,JD,JE,JF,JG$ 把八边形分成 $7$ 个三角形，则这 $7$ 个三角形的重心形成的凸多边形的面积为_______．
已知青蛙从坐标平面原点出发跳动，当它位于坐标 $(x,y)$ 时可以跳动到 $(x+1,y),(x+2,y),(x,y+1),(x,y+2)$ 中的任意一个位置，则从 $(0,0)$ 出发跳到 $(4,4)$ 结束的所有不同的跳动方案数为_______．
$\triangle ABC$ 的边长分别为 $AB=9$，$BC=5\sqrt 3$，$AC=12$．线段 $AB$ 上依次有点 $P_k$（$k=1,2,\cdots,2449$），记 $P_0=A$，$P_{2450}=B$，类似的，线段 $AC$ 上依次有点 $Q_k$（$k=1,2,\cdots,2449$），记 $Q_0=A$，$Q_{2450}=C$．这样就得到了与 $BC$ 平行的 $2449$ 条线段 $P_kQ_k$（$k=1,2,\cdots,2449$），设这些线段把 $\triangle ABC$ 分割成的 $1$ 个三角形和 $2449$ 个梯形的面积相等，则这些线段长为有理数的条数为_______．
从区间 $[-20,18]$ 中随机选择一个实数 $a$，设\[ x^{4}+2 a x^{3}+(2 a-2) x^{2}+(-4 a+3) x-2\]的所有根均为实根的概率的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．
已知复数 $x,y,z$ 满足\[\begin{cases} x y=-80-320 {\rm i},\\ yz=60,\\ zx=-96+24{\rm i},\end{cases}\]则复数 $ x+y+z$ 的模的平方为_______．
