每日一题[2200]反平行

已知 $\triangle ABC$ 的内切圆 $\omega$ 与 $BC$ 切于点 $X$,设 $AX$ 与圆 $\omega$ 交于不同于 $X$ 的点 $Y$,过 $Y$ 作圆 $\omega$ 的切线与 $AB,AC$ 分别交于点 $P,Q$,且 $AP=3$,$PB=4$,$AC=8$,$AQ$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$,则 $m+n=$_______.

答案    $227$.

解析    设边 $AB,AC$ 分别与圆 $\omega$ 相切于点 $Z,W$,$\angle BAX=\alpha$,$\angle AXC=\beta$.

由于 $PQ,BC$ 与 $\omega$ 相切,于是\[\angle AYP=\angle QYX=\angle YXC=\beta,\]而 $PZ=PY$,在 $\triangle APY$ 中应用正弦定理,有\[\dfrac{AZ}{AP}=1+\dfrac{ZP}{AP}=1+\dfrac{PY}{AP}=1+\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta},\]类似的,在 $\triangle ABX$ 中应用正弦定理,有\[ \frac{A Z}{A B}=1-\frac{B Z}{A B}=1-\frac{B X}{A B}=1-\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}. \]从而\[ 2=\frac{A Z}{A P}+\frac{A Z}{A B}=\frac{A Z}{3}+\frac{A Z}{7}, \]解得 $AQ=\dfrac{168}{59}$,于是所求和为 $168+59=227$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论