已知函数 $f\left(x\right) = x - 1 + \dfrac{a}{{{{\mathrm{e}}^x}}}$，（$a \in {\mathbb{R}}$，${\mathrm{e}}$ 为自然对数的底数）．
1、若曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值．
2、求函数 $f\left(x\right)$ 的极值．
3、当 $a = 1$ 时，若直线 $l:y = kx - 1$ 与曲线 $y = f\left(x\right)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值．
已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，$g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $f(x), g(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 单调递减，则（ ）
A．$f(f(1))<f(f(2))$
B．$f(g(1))<f(g(2))$
C．$g(f(1))<g(f(2))$
D．$g(g(1))<g(g(2))$
如图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制 《授时历》时所做的天文计算．图中的 $AB,AC,BD,CD$ 都是以 $O$ 为圆心的圆弧，$C M N K$ 是为计算所做的矩形，其中 $M, N, K$ 分别在线段 $O D, O B, O A$ 上，$M N \perp O B$，$ K N \perp O B$．记 $\alpha=\angle A O B$，$\beta=\angle A O C$，$\gamma=\angle B O D$，$\delta=\angle C O D$，则（ ）
已知 $a, b, c$ 满足 $a={\log _5}\left(2^b+3^b\right)$，$c={\log _3}\left(5^b-2^b\right)$，则（ ）
A．$|a-c| \geqslant|b-c|$
B．$|a-c| \geqslant|b-c|$
C．$|a-b| \geqslant|b-c|$
D．$|a-b| \leqslant|b-c|$
数学家祖冲之曾给出圆周率 $\pi$ 的两个近似值：“约率”$\dfrac{22}{7}$ 与“密率”$\dfrac{355}{113}$．它们可用“调日法”得到：称小于 $3.1415926$ 的近似值为弱率，大于 $3.1415927$ 的近似值 强率．由 $\dfrac{3}{1}<\pi<\dfrac{4}{1}$，取 $ 3$ 为弱率，$4$ 为强率，得 $a_1=\dfrac{3+4}{1+1}=\dfrac{7}{2}$，故 $a_1$ 为强率，与 上一次的弱率 $3$ 计算得 $a_2=\dfrac{3+7}{1+2}=\dfrac{10}{3}$，故 $a_2$ 为强率，继续计算，$\cdots \cdots$．若某次得 到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推．已知 $a_m=\dfrac{22}{7}$，则 $m=$_______；$a_8=$_______．
如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关 $1 $ 次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按 $(2,2)$ 将导致 $(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)$ 改变状态．如果要求只改变 $(1,1)$ 的状态，则需按开关的最少次数为_______． \[\begin{array}{|c|c|c|}\hline (1,1)&(1,2)&(1,3)\\ \hline (2,1)&(2,2)&(2,3)\\ \hline (3,1)&(3,2)&(3,3)\\ \hline\end{array}\]
如图，四边形 $A B C D$ 是圆柱底面的内接四边形，$A C$ 是圆柱的底面直径，$P C$ 是圆柱的母线，$E$ 是 $A C$ 与 $B D$ 的交点，$A B=A D$，$\angle B A D=60^{\circ}$．
1、记圆柱的体积为 $V_1$，四棱锥 $P-A B C D$ 的体积为 $V_2$，求 $\dfrac{V_1}{V_2}$．
2、设点 $F$ 在线段 $A P$ 上，$P A=4 P F$，$P C=4 C E$，求二面角 $F-C D-P$ 的余弦值．
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调，其中 $\omega$ 为正整数，$|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}$，且 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)$．
1、求 $y=f(x)$ 图象的一条对称轴．
2、若 $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\varphi$．
已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）过点 $A\left(4 \sqrt{2}, 3\right)$，且焦距为 $10$．
1、求 $C$ 的方程．
2、已知点 $B(4 \sqrt{2},-3)$，$D(2 \sqrt{2}, 0)$，$E$ 为线段 $A B$ 上一点，且直线 $D E$ 交 $C$ 于 $G,H$ 两点．证明：$\dfrac{|G D|}{|G E|}=\dfrac{|H D|}{|H E|}$．
椭圆曲线加密算法运用于区块链． 椭圆曲线 $C=\left\{(x, y) \mid y^2=x^3+a x+b, 4 a^3+27 b^2 \neq 0\right\} $．$P \in C$ 关于 $x$ 轴的对称点记为 $\widetilde{P}$．$C$ 在点 $P(x, y)$（$y \neq 0$）处的切线是指曲线 $y=\pm \sqrt{x^3+a x+b}$ 在点 $P$ 处的切线．定义“$\oplus$”运算满足：
① 若 $P \in C$，$Q \in C$，且直线 $P Q$ 与 $C$ 有第三个交点 $R$，则 $P \oplus Q=\widetilde{R}$；
② 若 $P \in C$，$Q \in C$，且 $P Q$ 为 $C$ 的切线，切点为 $P$，则 $P \oplus Q=\widetilde{P}$；
③ 若 $P \in C$，规定 $P \oplus \widetilde{P}=0^{\ast}$，且 $P \oplus 0^{\ast}=0^{\ast} \oplus P=P$．
1、当 $4 a^3+27 b^2=0$ 时，讨论函数 $h(x)=x^3+a x+b$ 零点的个数．
2、已知“$\oplus$”运算满足交换律、结合律，若 $P \in C$，$Q \in C$，且 $P Q$ 为 $C$ 的切线，切点为 $P$，证明：$P \oplus P=\tilde{Q}$．
3、已知 $P\left(x_1, y_1\right) \in C$，$Q\left(x_2, y_2\right) \in C$，且直线 $P Q$ 与 $C$ 有第三个交点，求 $P \oplus Q$ 的坐标．
