2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #11
已知曲线 $C:(x-y)^2+\lambda(y-1)^2=5$，$\lambda\in\mathbb R$，则下列选项正确的是（ ）
A．存在 $\lambda\in\mathbb R$，使得曲线 $C$ 为圆
B．对任意 $\lambda\in\mathbb R$，曲线 $C$ 都关于点 $(1,1)$ 中心对称
C．当 $\lambda=1$ 时，$x\in[1-\sqrt{10},1+\sqrt{10}]$
D．当 $\lambda=-1$ 时，直线 $y=\dfrac{x+1}2$ 是曲线 $C$ 的一条渐近线
2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #19
双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的一个顶点在直线 $l: y=x+1$ 上，且其离心率为 $\sqrt 5$．
1、求双曲线 $E$ 的标准方程；
2、若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点．已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线 $E$ 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$．
① 设点 $T$ 的横坐标为 $t$，求 $t$ 的取值范围；
② 设直线 $TP$ 和直线 $TM$ 分别与直线 $x=-1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$，证明：直线 $PN$ 和直线 $MQ$ 的交点在定直线上．
2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #1 8
有 $A,B,C,D,E,F,G,H$ 八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军．八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知 $B\sim H$ 这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为 $\dfrac 1 2$，$ A$ 运动员与其它运动员对决时，$A$ 获胜的概率为 $\dfrac 2 3$，每场对决没有平局，且结果相互独立．
1、求这八名运动员各自获得冠军的概率；
2、求 $B$ 与 $A$ 对决过且最后获得冠军的概率；
3、求 $B$ 与 $C$ 对决过且最后获得冠军的概率．
2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #17
如图，$\triangle AOD$ 与 $\triangle BOC$ 存在对顶角 $\angle AOD=\angle BOC=\dfrac{\pi}4$，$AC=2$，$BD=2\sqrt 2$，且 $BC=AD$．
1、证明：$O$ 为 $BD$ 中点；
2、若 $\sqrt 5\sin 2 A+\cos B=\sqrt 5$，求 $OC$ 的长．
2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #16
如图，直角梯形 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$，$AB\perp AD$，$BC=8$，$AD=9$，$AB=2\sqrt 3$，点 $E$ 为线段 $BC$ 不在端点上的一点，过 $E$ 作 $AB$ 的平行线交 $AD$ 于 $F$，将矩形 $ABEF$ 翻折至与梯形 $ECDF$ 垂直，得到六面体 $ABCDEF$．
1、若 $CF\perp BD$，求 $BE$ 的长；
2、求异面直线 $BC$ 与 $AD$ 所成角余弦值的最小值．
2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14
四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB=AD=\sqrt{10}$，$CB=CD=5$，$\angle BAD=90^{\circ}$，$PB=4$，$PC=3$，$\triangle PBC$ 内部点 $Q$ 满足四棱锥 $Q-ABCD$ 与三棱锥 $Q-PAD$ 的体积相等，则 $PQ$ 长的最小值为_____．
2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，记 $|A|$ 为集合 $A$ 中元素的个数，$\displaystyle\min (A)$ 为集合 $A$ 中的最小元素．若非空数集 $A\subseteq\{1,2,\cdots,n\}$，且满足 $|A|\leqslant\displaystyle\min (A)$，则称集合 $A$ 为 $n$ 阶完美集．记 $a_n$ 为全部 $n$ 阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．$a_4=7$
B．将 $n$ 阶完美集 $A$ 的元素全部加 $1$，得到的新集合，是 $n+1$ 阶完美集
C．若 $A$ 为 $(n+2)$ 阶完美集，$|A|>1$ 且 $n+2\in A$，满足条件的集合 $A$ 的个数为 $a_{n+1}-n$
D．若 $A$ 为 $(n+2)$ 阶完美集，$|A|>1$ 且 $n+2\notin A$，满足条件的集合 $A$ 的个数为 $a_{n+1}-n-1$
2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #19
已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足，$a_1,a_2$ 为正整数，$a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$，$n\in \mathbb N^{\ast}$．
1、若 $a_1=1$，$ a_3=2$，求 $a_4$；
2、证明：存在 $k\in \mathbb N$，使得 $a_k=0$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 是周期为 $3$ 的数列的必要不充分条件：
3、若 $a_1\neq a_2$，是否存在数列 $\left\{a_n\right\}$，使得 $a_n<2025$ 恒成立？若存在，求出一组 $a_1,a_2$ 的值：若不存在，请说明理由．
2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #18
已知拋物线 $y^2=2 x$，过点 $N(2,0)$ 作两条直线 $l_1,l_2$ 分别交拋物线于 $A,B$ 和 $C,D$（其中 $A,C$ 在 $x$ 轴上方）．
1、当 $l_1$ 垂直于 $x$ 轴，且四边形 $ACBD$ 的面积为 $4\sqrt 5$ 时，求直线 $l_2$ 的方程；
2、当 $l_1,l_2$ 倾斜角互补时，直线 $AC$ 与直线 $BD$ 交于点 $M$，求 $\triangle MAB$ 的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #17
甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概案为 $p$（$0<p<1$），输的概率为 $1-p$，每局比赛的结果是独立的．
1、当 $p=\dfrac 2 3$ 时，求甲最终获胜的概率；
2、为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案． 方案一：最终获胜者得 $3$ 分，失败者得 $-2$ 分； 方案二：最终获胜者得 $1$ 分，失败者得 $0$ 分； 请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
