已知 $x,y\in (0,1)$，求证：\[\left|x\sin\dfrac{1}{x^2}-y\sin\dfrac{1}{y^2}\right|\leqslant 3\sqrt[3]{|x-y|}.\]
已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=5$，$BC=12$，$CA=13$，$P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点且 $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$，则 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}=$ _____．
2025年广东深圳宝安区一模数学试卷 #11
已知函数 $f(x)$ 为 $\mathbb R$ 上的奇函数，当 $0\leqslant x\leqslant 2$ 时，$f(x)=x^3-3 x$，且 $f(x)$ 的图象关于点 $(2,2)$ 中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．$f(3)=6$
B．函数 $y=f(x)-5$ 有三个零点
C．$g(x)=f(x)-x$ 是周期为 $4$ 的周期函数
D．线段 $y=x+\dfrac{16\sqrt 3}9,x\in[-2,10]$ 与 $y=f(x),x\in[-2,10]$ 的图象有 $6$ 个交点
2025年广东深圳宝安区一模数学试卷 #14
记锐角 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\dfrac{\sin (A-B)}{\cos B}=\dfrac{\sin (A-C)}{\cos C}$，且 $a\sin C=1$，则 $\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}$ 的最大值为 _____．
2025年广东深圳宝安区一模数学试卷 #18
在平面直角坐标系中 $x Oy$，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，点 $\left(-\sqrt 3,\dfrac 1 2\right)$ 在椭圆 $C$ 上．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、设椭圆 $C$ 的左、右顶点分别为 $A,B$，点 $P,Q$ 为椭圆上异于 $A,B$ 的两动点，记直线 $AP$ 的斜率为 $k_1$，直线 $QB$ 的斜率为 $k_2$，已知 $k_1=7 k_2$．
① 求证：直线 $PQ$ 恒过 $x$ 轴上一定点；
② 设 $\triangle PQB$ 和 $\triangle PQA$ 的面积分别为 $S_1,S_2$，求 $\left|S_1-S_2\right|$ 的最大值．
2025年广东深圳宝安区一模数学试卷 #19
已知函数 $f(x)=a\ln x-\sin x+x$，其中 $a$ 为非零常数．
1、若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；
2、设 $\theta\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}2\right)$，且 $\cos\theta=1+\theta\sin\theta$，证明：当 $\theta^2\sin\theta<a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 上恰有两个极值点．
2025年11月浙江杭州市一模数学试卷 #11
已知函数 $y=f(n)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）的函数值等于 $n$ 的正因数的个数．例如 $f(1)=1,f(4)=3$．则下列选项正确的是（ ）
A．$f(6)=4$
B．$f(2025)=20$
C．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2025}\dfrac 1{f\left(6^k\right)}<1$
D．设 $b_n=(\sqrt 2)^n$，则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2025}\dfrac{(-1)^{f(k+1)}}{b_{2 k-1}b_{2 k}}\leqslant\dfrac{5\sqrt 2}{16}$
2025年11月浙江杭州市一模数学试卷 #18
已知 $F(1,0)$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点，过 $F$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，其中 $A$ 在 $x$ 轴上方．当 $AB\perp x$ 轴时，$|AB|=3$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程； 设 $P(4,0)$，
2、① 求证：$\angle APF=\angle BPF$；
② 设点 $M$ 在椭圆 $C$ 上，点 $N$ 是 $\triangle FMP$ 的外接圆与椭圆 $C$ 的另一个交点（异于 $M$），若 $MF$ 平分 $\angle AMB$，且 $\dfrac 1{|NA|}+\dfrac 1{|NB|}=\dfrac{\sqrt 3}{|NF|}$，求 $\cos\angle ANB$ 的值．
2025年浙江镇海中学高一数学期中考试 #8
已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若 $a\in(0,1)$，记 $f(x)=\big|x-[x+a]\big|+\big|x-[x-a]\big|$，且 $\forall x\in \mathbb R$，有 $f(x)\leqslant M(a)$ 恒成立，则 $M(a)$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$\dfrac 3 2$
C．$\dfrac 5 3$
D．$2$
2025年浙江镇海中学高一数学期中考试 #11
已知定义在 $(-1,1)$ 上的函数 $f(x)$ 满足：
① 对任意 $x,y\in(-1,1)$ 都有 $f(x)+f(y)=f\left(\dfrac{x+y}{1+x y}\right)$；
② 当 $x>0$ 时，$f(x)>0$． 则下列说法中正确的是（ ）
A．$f(x)$ 是奇函数
B．$f(x)$ 是减函数
C．若 $f\left(\dfrac 1 5\right)=\dfrac 1 2$，则 $f\left(\dfrac 1 2\right)-f\left(\dfrac 1 7\right)=1$
D．$f\left(\dfrac 1{11}\right)+f\left(\dfrac 1{19}\right)+f\left(\dfrac 1{29}\right)+f\left(\dfrac 1{41}\right)<f\left(\dfrac 1 3\right)$
