若实数 $a, b, c, d$ 满足 $a b+b c+c d+d a=1$，则 $a^{2}+2 b^{2}+3 c^{2}+4 d^{2}$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．以上答案都不对
已知 $\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求 $\dfrac{2\sin^4\alpha+3\cos^4\beta}{4\sin^2\alpha+5\cos^2\beta}+\dfrac{2\cos^4\alpha+3\sin^4\beta}{4\cos^2\alpha+5\sin^2\beta}$ 的最小值．
已知 $C_n$ 是 $\left(\sqrt 3+1\right)^{2n}$ 的整数部分，求证：$C_n+1\mid 2^{n+1}$．
抛物线 $y=x^2$ 上有 $A,B$ 两点，$|AB|=2$，则 $AB$ 中点的轨迹方程为_______．
已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，则 $a^2+b^2+c^2+2abc$ 的取值范围是_______．
已知实数 $a>0$，二次函数 $f(x)=ax^2-x+1$，若在任意长度为 $1$ 的闭区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于 $1$，则 $a$ 的最小值为_______．
已知 $n$ 为偶数，$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 均为两两不同的整数，记 $f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\cdots\left(x-a_{n}\right)+1$．
1、求证：当 $n \geqslant 6$ 时，$f(x)$ 不可用次数小于 $n$ 的两个整系数多项式的乘积表示．
2、请举例说明，当 $n=2$ 和 $n=4$ 时 第 $(1)$ 小题中结论不成立．
求和 $\left[\sqrt[3]1\right]+\left[\sqrt[3]2\right]+\cdots+\left[\sqrt[3]{2021}\right]=$ _______．
设 $f(x)$ 是 $n$（$n\geqslant 1$）次多项式，$g(x)=f(x)-f'(x)$，证明：若 $f(x)$ 的 $n$ 个根都是实数，则 $g(x)$ 的 $n$ 个根也都是实数．
