数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=\dfrac{4}{3}$，$a_{n+1}-1=a_{n}^{2}-a_{n}$（$n \in\mathbb N^{*}$），数列 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，则（ ）
A．$1<S_{2021}<2$
B．$2<S_{2021}<3$
C．$3<S_{2021}<4$
D．$4<S_{2021}<5$
已知函数 $f(x)=\begin{cases}\ln x-1, &x\in[{\rm e},+\infty), \\ a x+b-\ln x, &x\in (0,{\rm e})\end{cases}$ 的最小值为 $0$，${\rm e}$ 为自然对数的底数，则（ ）
A．$\forall a<0$，都有 $b<1-a {\rm e}$
B．$\exists a<0$，使得 $b \leqslant 1$
C．$\forall a \in\left(\dfrac{1}{{\rm e}},+\infty\right)$，都有 $b+\ln (a {\rm e}) \geqslant 0$
D．$\exists a \in\left(0, \dfrac{1}{{\rm e}}\right]$，使得 $b<\ln (2-a {\rm e})$
已知曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}=4+|y| \cdot x$，则下面结论中正确的是
（ ）
A．曲线 $C$ 关于直线 $y=x$ 对称
B．曲线 $C$ 的范围是 $|y| \leqslant 2$ 且 $|x| \leqslant 2$
C．曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $2 \sqrt{2}$
D．曲线 $C$ 所围成区域的面积小于 $ 12$
在 $\triangle ABC$ 中，$a = 3$，$b = 2\sqrt 6$，$\angle B = 2\angle A$．
1、求 $\cos A$ 的值．
2、求 $c$ 的值．
计算 $\left[10\left({\sqrt2}\right)^{\sqrt 2}\right]=$_______．
已知函数 $f(x)=ax^3-\dfrac{12x}a$（$a\ne 0$）的极小值为 $f(2)$，则 $a=$_______．
已知函数 $f(x)=\sin(\cos x)+\cos(\sin x)$，则（ ）
A．$f(x)$ 的最大值是 $1+\sin 1$
B．$f(x)$ 的最小值是 $ 1-\sin 1$
C．$2\pi$ 是 $f(x)$ 的周期
D．以上答案都不对
已知 $y=|a\sin\theta+b\cos\theta|+|b\sin\theta-a\cos\theta-1|$ 的最大值为 $11$，则 $a^2+b^2=$ （ ）
A．$25$
B．$50$
C．$100$
D．以上答案都不对
在正 $n$（$n \geqslant 3$）棱锥 $P-A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 中，$O$ 为底面正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的中心，$B$ 为棱 $A_{1} A_{n}$ 的中点．
1、证明：$P O^{2} \sin ^{2} \dfrac{\mathrm{\pi}}{n}+P A_{1}^{2} \cos ^{2} \dfrac{\mathrm{\pi}}{n}=P B^{2}$．
2、设正 $n$ 棱雉 $P-A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的侧棱与底面所成的角为 $\alpha$，侧面与底面所成的角为 $\beta$，试确 定 $\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \cos \angle A_{i} P B$ 与 $\sin \alpha \cdot \sin \beta$ 的大小关系，并予以证明．
在平面直角坐标系中，函数 $y=\dfrac{1}{|x|}$ 的图像为 $\Gamma$．设 $\Gamma$ 上的两点 $P,Q$ 满足：$P$ 在 第一象限，$Q$ 在第二象限，且直线 $P Q$ 与 $\Gamma$ 位于第二象限的部分相切于点 $Q$．求 $|P Q|$ 的最小值．
