如图，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0\right)$ 经过点 $P\left( {1,\dfrac{3}{2}} \right)$，离心率 $e = \dfrac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $x = 4$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、$AB$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$），设直线 $AB$ 与直线 $l$ 相交于点 $M$，记 $PA,PB,PM$ 的斜率分别为 ${k_1},{k_2},{k_3}$．问：是否存在常数 $\lambda $，使得 ${k_1} + {k_2} = \lambda {k_3}$？若存在，求 $\lambda $ 的值；若不存在，请说明理由．
如图，半径为 $1$ 的半圆 $O$ 与等边三角形 $ABC$ 夹在两平行线 ${l_1},{l_2}$ 之间，$l\parallel {l_1}$，$l$ 与半圆相交于 $F,G$ 两点，与三角形 $ABC$ 两边相交于 $E,D$ 两点．设弧 $FG$ 的长为 $x $（$0 < x < {\mathrm \pi} $），$ y = EB + BC + CD $，若 $ l $ 从 $ {l_1} $ 平行移动到 $ {l_2} $，则函数 $ y = f\left(x \right)$ 的图象大致是（ ）
已知 $a > 0$，函数 $f\left(x\right) = \left| {\dfrac{x - a}{x + 2a}} \right|$．
1、记 $f\left(x\right)$ 在区间 $ \left[ {0,4} \right]$ 上的最大值为 $g\left(a\right) $，求 $g\left(a\right)$ 的表达式．
2、是否存在 $a$，使函数 $y = f\left(x\right)$ 在区间 $\left( {0,4} \right)$ 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
过抛物线 $E:{x^2} = 2py$（$p > 0$）的焦点 $ F $ 作斜率分别为 ${k_1},{k_2}$ 的两条不同的直线 ${l_1},{l_2}$，且 ${k_1} + {k_2} = 2$，${l_1}$ 与 $E$ 相交于点 $ A , B $，${l_2}$ 与 $E$ 相交于点 $ C ,D$．以 $ AB,CD $ 为直径的圆 $ M , N $（$ M,N $ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $ l$．
1、若 ${k_1} > 0$，${k_2} > 0$，证明；$\overrightarrow {FM} \cdot \overrightarrow {FN} < 2{p^2}$．
2、若点 $ M $ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\dfrac{7\sqrt 5 }{5}$，求抛物线 $ E $ 的方程．
设 ${S_n}$ 为数列 $ \left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $ n $ 项和，${S_n} = {\left( - 1\right)^n}{a_n} - \dfrac{1}{2^n},n \in {{\mathbb{N}}^ * } $，则 ${a_3} = $_______；${S_1} + {S_2} + \cdot \cdot \cdot + {S_{100}} = $_______．
在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，将从点 $ M $ 出发沿纵、横方向到达点 $ N $ 的任一路径称为 $ M $ 到 $ N $ 的一条 $ L $ 路径．如图所示的路径 $M{M_1}M{}_2{M_3}N$ 与路径 $M{N_1}N$ 都是 $ M $ 到 $ N $ 的“$ L $ 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $ xOy $ 内三点 $A\left(3,20\right)$，$B\left( - 10,0\right)$，$C\left(14,0\right)$ 处．现计划在 $ x $ 轴上方区域（包含 $ x $ 轴）内的某一点 $ P $ 处修建一个文化中心．
1、写出点 $ P $ 到居民区 $ A $ 的 $ L $ 路径长度最小值的表达式（不要求证明）．
2、若以原点 $ O $ 为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆的内部是保护区，$ L $ 路径不能进入保护区，请确定点 $ P $ 的位置，使其到三个居民区的 $ L $ 路径长度之和最小．
设 $S,T$ 是 ${\mathbb{R}}$ 的两个非空子集，如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y = f\left(x\right)$ 满足：
$(1)$ $T = \left\{ {f\left(x\right)\mid x \in S} \right\}$；
$(2)$ 对任意 ${x_1},{x_2} \in S$，当 ${x_1} < {x_2}$ 时，恒有 $f\left({x_1}\right) < f\left({x_2}\right)$，那么称这两个集合＂保序同构＂．
现给出以下 $3$ 对集合：
① $A = {\mathbb{N}}$，$ B = {{\mathbb{N}}^{\ast}}$；
② $A = \left\{ {x\mid - 1 \leqslant x \leqslant 3} \right\}$，$ B = \left\{ {x\mid - 8 \leqslant x \leqslant 10} \right\}$；
③ $A = \left\{ {x\mid 0 < x < 1} \right\}$，$ B = {\mathbb{R}}$．
其中，＂保序同构＂的集合对的序号是_______．（写出所有＂保序同构＂的集合对的序号）
如图，在等腰直角 $\triangle OPQ$ 中，$\angle POQ = 90^\circ$，$OP = 2\sqrt 2 $，点 $M$ 在线段 $PQ$ 上．
1、若 $OM = \sqrt 5 $，求 $PM$ 的长．
2、若点 $N$ 在线段 $MQ$ 上，且 $\angle MON = 30^\circ $，问：当 $\angle POM$ 取何值时，$\triangle OMN$ 的面积最小？并求出面积的最小值．
已知 $a,b$ 是非零实数，且对任意 $x\geqslant 0$，有 $(x-a)(x-b)(x-2a-b)\geqslant 0$，则（ ）
A．$a>0$
B．$a<0$
C．$b>0$
D．$b<0$
已知等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公比为 $q$，记\[\begin{split} {b_n} &= {a_{m\left(n - 1\right) + 1}} + {a_{m\left(n - 1\right) + 2}} + \cdots + {a_{m\left(n - 1\right) + m}} ,\\ {c_n} &= {a_{m\left(n - 1\right) + 1}} \cdot {a_{m\left(n - 1\right) + 2}} \cdots {a_{m\left(n - 1\right) + m}} ,\end{split}\]其中 ${m,n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}}$，则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 为等差数列，公差为 ${q^m}$
B．数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 为等比数列，公比为 ${q^{2m}}$
C．数列 $\left\{ {c_n} \right\}$ 为等比数列，公比为 ${q^{m^2}}$
D．数列 $\left\{ {c_n} \right\}$ 为等比数列，公比为 ${q^{m^m}}$
