每日一题[2764]拼积木

如图,在四棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中,侧棱 $A{A_1} \perp ABCD$,$AB\parallel DC$,$A{A_1} = 1$,$AB = 3k$,$AD = 4k$,$BC = 5k$,$DC = 6k$($k > 0$).

1、求证:$CD \perp AD{D_1}{A_1}$.

2、若直线 $A{A_1}$ 与平面 $A{B_1}C$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{6}{7}$,求 $k$ 的值.

3、现将与四棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 $f\left( k \right)$,写出 $f\left( k \right)$ 的解析式.(直接写出答案,不必说明理由)

解析

1、在平面 $ADD_1A_1$ 中,找到两条均与 $CD$ 垂直的相交直线即可.取 $CD$ 的中点 $E$,连接 $BE$.如图.

因为 $AB\parallel DE$,$AB = DE = 3k$,所以四边形 $ABED$ 为平行四边形,所以 $BE\parallel AD$ 且\[BE = AD = 4k.\]在 $\triangle BCE$ 中,$BE = 4k$,$CE = 3k$,$BC = 5k$,所以\[B{E^2} + C{E^2} = B{C^2},\]所以 $\angle BEC = 90^\circ $,即 $BE \perp CD$.因为 $BE\parallel AD$,所以 $CD \perp AD$.因为 $A{A_1} \perp ABCD$,$CD \subset ABCD$,因为 $A{A_1} \perp CD$,又 $A{A_1} \cap AD = A$,因此 $CD \perp AD{D_1}{A_1}$.

2、建立空间直角坐标系 $D-ACD_1$,如图.

根据题意,有\[\begin{cases} {A_1}\left( {4k,0,1} \right),\\ A\left( {4k,0,0} \right),\\ {B_1}\left( {4k,3k,1} \right),\\ C\left( {0,6k,0} \right),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow{A_1A}=(0,0,-1),\\ \overrightarrow n_{AB_1C}=(3,2,-6k),\end{cases}\]所以 $A{A_1}$ 与平面 $A{B_1}C$ 所成角 $\theta $ 满足\[\sin \theta = \dfrac{\left|\overrightarrow {A_1A}\cdot \overrightarrow n_{AB_1C}\right|}{\left|\overrightarrow{A_1A}\right|\cdot \left|\overrightarrow{A_1A}\right|}=\dfrac{|6k|}{\sqrt{13+36k^2}}=\dfrac 67,\]解得 $k = 1$.

3、拼接面可以是 $ABB_1A_1,BCC_1B_1,ADD_1A_1,ABCD$,它们的面积分别为\[3k,5k,4k,18k^2,\]而四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的表面积为 $36k^2+18k$,因此它们拼接后的四棱柱的表面积分别为\[72k^2+30k,72k^2+26k,72k^2+28k,36k^2+36k,\]其中最小的表面积\[f(k)=\begin{cases} 72k^2+26k,&k\in\left(0,\dfrac{5}{18}\right],\\ 36k^2+36k,&k\in\left(\dfrac5{18},+\infty\right).\end{cases}\]

 

 

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