每日一题[2768]三角平方差

如图,在等腰直角 $\triangle OPQ$ 中,$\angle POQ = 90^\circ$,$OP = 2\sqrt 2 $,点 $M$ 在线段 $PQ$ 上.

1、若 $OM = \sqrt 5 $,求 $PM$ 的长.

2、若点 $N$ 在线段 $MQ$ 上,且 $\angle MON = 30^\circ $,问:当 $\angle POM$ 取何值时,$\triangle OMN$ 的面积最小?并求出面积的最小值.

解析

1、在 $\triangle OMP$ 中应用余弦定理,有\[OM^2 = OP^2 + MP^2 - 2OP \cdot MP \cdot \cos 45^\circ \iff MP^2 - 4\cdot MP + 3 = 0,\]解得 $MP = 1$ 或 $MP = 3$.

2、由于 $\angle POM+\angle QON=60^\circ$,设 $\angle POM=30^\circ+x$,$\angle QON=30^\circ-x$,则在 $\triangle POM$ 和 $\triangle QON$ 中分别应用正弦定理,有\[OM=\dfrac{\sin 45^\circ}{\sin (105^\circ-x)}\cdot OP,\quad ON=\dfrac{\sin 45^\circ}{\sin (105^\circ+x)}\cdot OP,\]因此 $\triangle OMN$ 的面积\[\begin{split} [\triangle OMN]&=\dfrac 12\cdot \sin30^\circ\cdot OM\cdot ON\\ &=\dfrac{1}{\sin (105^\circ-x)\sin (105^\circ+x)}\\ &=\dfrac1{\sin^2105^\circ-\sin^2x}\\ &\geqslant \dfrac{1}{\sin^2105^\circ}\\ &=\dfrac{1}{\sin^2(45^\circ+60^\circ)}\\ &=8-4\sqrt 3,\end{split}\]等号当 $x=0^\circ$ 时取得,因此 $\angle POM = 30^\circ $ 时,$\triangle OMN$ 的面积最小,面积最小值为 $8 - 4\sqrt 3 $.

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