如图，点 $ P\left(0,-1\right) $ 是椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a > b > 0$）的一个顶点，$ C_1 $ 的长轴是圆 $C_2:x^2+y^2=4 $ 的直径．$l_1,l_2 $ 是过点 $P $ 且互相垂直的两条直线，其中 $l_1 $ 交圆 $ C_2 $ 于 $A,B $ 两点，$l_2 $ 交椭圆 $ C_1 $ 于另一点 $ D$．
1、求椭圆 $C_1 $ 的方程．
2、求 $\triangle ABD $ 面积取最大值时直线 $l_1 $ 的方程．
设 $\overrightarrow {e_1} ,\overrightarrow {e_2} $ 为单位向量，非零向量 $\overrightarrow b = x\overrightarrow {e_1} + y\overrightarrow {e_2}$，$x,y \in {\mathbb{R}}$，若 $\overrightarrow {e_1} ,\overrightarrow {e_2} $ 的夹角为 $\dfrac{\mathrm \pi} {6}$，则 $\dfrac{| x |}{{ \left| {\overrightarrow b } \right |}}$ 的最大值等于_______．
设 $a > 0$，$b > 0$，已知函数 $f\left(x\right) = \dfrac{ax + b}{x + 1}$．
1、当 $a \ne b$ 时，讨论函数 $f\left(x\right)$ 的单调性．
2、当 $x > 0$ 时，称 $f\left(x\right)$ 为 $a,b$ 关于 $x$ 的加权平均数．
① 判断 $f\left(1\right),f\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} } \right),f\left( {\dfrac{b}{a}} \right)$ 是否成等比数列，并证明 $f\left( {\dfrac{b}{a}} \right) \leqslant f\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} } \right)$；
② 若 $\dfrac{2ab}{a + b} \leqslant f\left(x\right) \leqslant \sqrt{ab}$，求 $x$ 的取值范围．
在平面直角坐标系中，若点 $P\left(x,y\right)$ 的坐标 $x,y$ 均为整数，则称点 $P$ 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为 $S$，其内部的格点数记为 $N$，边界上的格点数记为 $L$．例如图中 $\triangle ABC$ 是格点三角形，对应的 $S = 1$，$N = 0$，$L = 4$．
① 图中格点四边形 $DEFG$ 对应的 $S,N,L$ 分别是_______；
② 已知格点多边形的面积可表示为 $S = aN + bL + c$，其中 $a,b,c$ 为常数．若某格点多边形对应的 $N = 71$，$L = 18$，则 $S = $_______（用数值作答）．
如图，已知椭圆 ${C_1}$ 与 ${C_2}$ 的中心在坐标原点 $O$，长轴均为 $MN$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2m,2n$（$ {m > n}$），过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 ${C_1},{C_2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A,B,CD$，记 $\lambda = \dfrac{m}{n}$，$\triangle BDM$ 和 $\triangle ABN$ 的面积分别为 ${S_1}$ 和 ${S_2}$．
1、当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 ${S_1} = \lambda {S_2}$，求 $\lambda $ 的值．
2、当 $\lambda $ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$，使得 ${S_1} = \lambda {S_2}$？并说明理由．
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 $ 1,3,6,10,\cdots$，第 $n$ 个三角形数为 $\dfrac{n\left(n + 1\right)}{2} = \dfrac{1}{2}{n^2} + \dfrac{1}{2}n$．记第 $n$ 个 $k$ 边形数为 $N\left( {n,k} \right)\left(k \geqslant 3\right)$，以下列出了部分 $k$ 边形数中第 $n$ 个数的表达式：
三角形数 $N\left( {n,3} \right){ = }\dfrac{1}{2}{n^2}{ + }\dfrac{ 1 }{ 2 }n$，
正方形数 $N\left( {n,4} \right){ = }{n^2}$，
五边形数 $N\left( {n,5} \right){ = }\dfrac{3}{2}{n^2} - \dfrac{ 1 }{ 2 }n$，
六边形数 $N\left( {n,6} \right){ = }2{n^2} - n$，
$ \cdots\cdots$
可以推测 $N\left( {n,k} \right)$ 的表达式，由此计算 $N\left( {10,24} \right) = $_______．
已知函数 $f\left(x\right) = x - 1 + \dfrac{a}{{{{\mathrm{e}}^x}}}$，（$a \in {\mathbb{R}}$，${\mathrm{e}}$ 为自然对数的底数）．
1、若曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值．
2、求函数 $f\left(x\right)$ 的极值．
3、当 $a = 1$ 时，若直线 $l:y = kx - 1$ 与曲线 $y = f\left(x\right)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值．
已知圆 $C$ 的方程为 ${x^2} + {\left(y - 4\right)^2} = 4$，点 $O$ 是坐标原点，直线 $l:y = kx$ 与圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点．
1、求 $k$ 的取值范围．
2、设 $Q\left(m,n\right)$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\dfrac{2}{ \left|OQ \right|^2} = \dfrac{1}{ \left|OM \right|^2} + \dfrac{1}{ \left|ON \right|^2}$，请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数．
已知函数 $f\left(x\right) = {\begin{cases} {x^2} + 2x + a,&x < 0 \\ \ln x,&x > 0 \\ \end{cases}}$，其中 $a$ 是实数．设 $A\left( {{x_1},f\left( {x_1} \right)} \right),B\left( {{x_2},f\left( {x_2} \right)} \right)$ 为该函数图象上的两点，且 ${x_1} < {x_2}$．
1、指出函数 $f\left( x \right)$ 的单调区间．
2、若函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $A,B$ 处的切线互相垂直，且 ${x_2} < 0$，求 ${x_2} - {x_1}$ 的最小值．
3、若函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $A,B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的两个焦点分别为 ${F_1}\left( { - 1,0} \right),{F_2}\left( {1,0} \right)$，且椭圆 $C$ 经过点 $P\left( {\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3}} \right)$．
1、求椭圆 $C$ 的离心率．
2、设过点 $A\left( {0,2} \right)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\dfrac2{|AQ|^2}=\dfrac1{|AM|^2}+\dfrac1{|AN|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．
