每日一题[2850]波澜起伏

已知函数 $f\left(x\right) = x - a{{\mathrm e}^x}$,$a \in \mathbb R$.

1、当 $a = 1$ 时,求曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线的方程.

2、若曲线 $y = f\left(x\right)$ 与 $x$ 轴有且只有一个交点,求 $a$ 的取值范围.

3、设函数 $g\left(x\right) = {x^3}$,请写出曲线 $y = f\left(x\right)$ 与 $y = g\left(x\right)$ 最多有几个交点.

解析

1、当 $a = 1$ 时,有\[f\left(x\right) = x - {{\mathrm e}^x},\quad f'\left(x\right) = 1 - {{\mathrm e}^x},\]当 $x = 0$ 时,$y = - 1$,又 $f'\left(0\right) = 0$,所以曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线方程为 $y = - 1.$

2、根据题意,有\[f(x)=0\iff a=x{\rm e}^{-x},\]设右侧函数为 $h(x)$,则其导函数\[h'(x)=(1-x){\rm e}^{-x},\]于是\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}\]

情形一    $a>\dfrac{1}{\rm e}$.此时方程没有实数解.

情形二     $a=\dfrac{1}{\rm e}$.此时方程有唯一实数解 $x=1$.

情形三     $0<a<\dfrac{1}{\rm e}$.由于 $h(-1)=-{\rm e}<a$,且\[h(a)=\dfrac{a}{{\rm e}^a}<\dfrac a{1+a}<a,\]于是此时方程有 $2$ 个实数解.

情形四     $a\leqslant 0$.此时方程在 $\left[1,+\infty\right)$ 上没有实数解,有 $h(a)<a$,于是方程在 $(-\infty,1)$ 上有唯一实数解.

综上所述,$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,0\right]\cup\left\{\dfrac1{\rm e}\right\}$.

3、根据题意,有\[f(x)=g(x)\iff a=\left(x-x^3\right){\rm e}^{-x},\]设右侧函数为 $\varphi(x)$,则其导函数\[\varphi'(x)=\left(x^3-3x^2-x+1\right){\rm e}^{-x},\]注意到函数 $\varphi(x)$ 有三个零点 $x=\pm 1,0$,讨论如下. \[\begin{array}{c|ccccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,-1)&-1&(-1,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline \varphi'(x)&&-&0&+&1&+-&-2&-+&\\ \hline \varphi(x)&+\infty&\searrow&0&\searrow\nearrow&0&\nearrow\searrow&0&\searrow\nearrow&0\\ \hline\end{array}\]

因此 $\varphi(x)$ 有三个极值点 $x_1,x_2,x_3$(不妨设 $x_1<x_2<x_3$),则 $x_1\in\left(-1,-\dfrac 12\right)$,$x_2\in\left(0,\dfrac 12\right)$,$x_3\in\left(3,\dfrac 72\right)$,进而有\[\varphi(x_3)<-1<\varphi(x_1)<0<\varphi(x_2),\]因此曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的交点个数为\[\begin{cases} 0,&(-\infty,\varphi(x_3)),\\ 1,&\left\{\varphi(x_3)\right\}\cup(\varphi(x_2),+\infty),\\ 2,&(\varphi(x_3),\varphi(x_1))\cup\left\{\varphi(x_2)\right\},\\ 3,&\left\{\varphi(x_1)\right\}\cup[0,\varphi(x_2)),\\ 4,& \left(\varphi(x_1),0\right).\end{cases}\]

备注    其中 $3$ 个极值点和极值为\[\begin{array}{c|ccc}\hline x&-0.6751\cdots&0.4608\cdots&3.2143\cdots \\ \hline \varphi(x)&-0.7216\cdots&0.2289\cdots&-1.2053\cdots\\ \hline\end{array}\]

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