Math173

已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右顶点分别为 $M, N$，右焦点为 $F$，点 $P, Q$ 在椭圆 $C$ 上，$P, Q$ 异于 $M, N$，且关于原点对称，点 $P$ 的纵坐标大于点 $Q$ 的纵坐标；若点 $A\left(0, y_{A}\right), B\left(0, y_{B}\right)$ 分别在直线 $M P, M Q$ 上，记四边形 $M A F B$ 的面积为 $S$，若 $S \geqslant \lambda$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的取值范围为_______．

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已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x$（$p>0$）的焦点为 $F$，过点 $(m, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点．

1、当 $k=2$ 且 $p=2 m$ 时，$|A B|=15$，求抛物线 $C$ 的方程．

2、已知横坐标为 $-\dfrac{p}{2}$ 的点 $D$ 在直线 $l$ 上，若对任意正数 $m$，$\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=|F D|^{2} \cdot \cos \angle A F B$ 恒成立，求 $k$ 的值．

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已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+\dfrac{1}{2} x^{2}+a x$．

1、若 $a=-1$，求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若 $a \in[0,1]$，求证：$32 f(x)>-7$． 参考数据：$\ln 3 \approx 1.099$，$\ln 4 \approx 1.386$．

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若不等式 $\mathrm{e}^{x}-a \ln (a x-1)+1 \geqslant 0$ 对任意 $x\in\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]$ 恒成立（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数），则实数 $a$ 的最大值为（       ）

A．$\mathrm{e}+1$

B．${\rm e}$

C．${\rm e}^{2}+1$

D．$\mathrm{e}^{2}$

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某半球形容器如图 $(1)$ 所示，底面圆的半径为 $ 2$．往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图 $(2)$ 所示．小球的半径等于_______；若球 $M$ 与这四个小球、半球面都相切，则球 $M$ 的半径等于_______．

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是抛物线 $E: y^{2}=2 p x$（$p>0$）上一点．若点 $M$ 到点 $\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ 的距离、点 $M$ 到 $y$ 轴的距离的等差中项是 $x_{0}+\dfrac{5}{4}$．

1、求抛物线 $E$ 的方程．

2、过点 $A(t, 0)$（$t<0$）作直线 $l$，交以线段 $A O$ 为直径的圆于点 $A, B$，交抛物线 $E$ 于点 $C, D$（点 $B, C$ 在线段 $A D$ 上）．问是否存在 $t$，使点 $B, C$ 恰为线段 $A D$ 的两个三等分点？若存 在，求出 $t$ 的值及直线 $l$ 的斜率；若不存在，请说明理由．

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已知函数 $f(x)=x-a \ln x$（$a \in \mathbb{R}$）的导函数为 $f^{\prime}(x)$．

1、若 $a=-1$，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程．

2、若不等式 $a f^{\prime}(x)+x f(x) \leqslant x^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知平面向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b, \boldsymbol c$ 均为单位向量，且 $|\boldsymbol a-\boldsymbol b|=1$，则 $(\boldsymbol a-2\boldsymbol b) \cdot(\boldsymbol a-\boldsymbol c)$ 的取值范围是（       ）

A．$\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$

B．$[-2,2]$

C．$\left[-\sqrt{7}, \sqrt{7}\right]$

D．$[-3,3]$

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已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$，渐近线上一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P O} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$（$O$ 为坐标原点），$\angle O P F_{1}=30^{\circ}$，则双曲线 $C$ 的离心率为（       ）

A．$\dfrac{5 \sqrt{2}}{6}$

B．$\dfrac{\sqrt{21}}{3}$

C．$\dfrac{5}{3}$

D．$\dfrac{7}{3}$

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在三棱锥 $P-A B C$ 中，$\triangle A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$P A=4$，$P B=P C=2 \sqrt{3}$，以 $A B$ 为直径的球的表面被 $\triangle P A C$ 截得的曲线长度为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt{3}}{6} \pi$

B．$\dfrac{\sqrt{6}}{6} \pi$

C．$\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} \pi$

D．$\dfrac{2 \sqrt{6}}{9} \pi$

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