每日一题[2658]斜率积定义

已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右顶点分别为 $M, N$,右焦点为 $F$,点 $P, Q$ 在椭圆 $C$ 上,$P, Q$ 异于 $M, N$,且关于原点对称,点 $P$ 的纵坐标大于点 $Q$ 的纵坐标;若点 $A\left(0, y_{A}\right), B\left(0, y_{B}\right)$ 分别在直线 $M P, M Q$ 上,记四边形 $M A F B$ 的面积为 $S$,若 $S \geqslant \lambda$ 恒成立,则实数 $\lambda$ 的取值范围为_______.

答案    $\left(-\infty,3\sqrt 3\right]$.

解析    根据椭圆的斜率积定义,直线 $MP,MQ$ 的斜率之积 $k_1k_2=-\dfrac 34$,于是点 $A,B$ 的纵坐标为 $2k_1,2k_2$,因此四边形 $MAFB$ 的面积\[S=3[\triangle NAB]=3\cdot \dfrac 12\cdot |AB|\cdot d(N,AB)=3|k_1-k_2|=3\left|k_1+\dfrac 3{4k_1}\right|\geqslant 3\sqrt 3,\]等号当 $k_1=\pm\dfrac{\sqrt 3}2$ 时取得,因此实数 $\lambda$ 的取值范围是 $\left(-\infty,3\sqrt 3\right]$.

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