每日一题[2919]极值点估计

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-x-m x^2, ~x \in(0,+\infty)$.

1、若 $f(x)$ 是增函数,求实数 $m$ 的取值范围.

2、当 $m=1$ 时,求证:$f(x)>\dfrac{1}{4}$.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-1-2mx,\]函数 $f(x)$ 在 $x\in (0,+\infty)$ 上是增函数即\[\forall x>0,~{\rm e}^x-1-2mx\geqslant 0,\]注意到 $f(0)=f'(0)=0$,而\[f''(x)={\rm e}^x-2m,\]且 $f''(0)=1-2m$,于是讨论分界点为 $m=\dfrac 12$.

情形一     $m\leqslant \dfrac 12$.此时\[f'(x)\geqslant {\rm e}^x-1-x\geqslant 0,\]于是 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,符合题意.

情形二     $m>\dfrac 12$.此时在 $x\in\left(0,\ln(2m)\right)$ 上,有 $f''(x)<0$,从而在该区间上 $f'(x)$ 单调递减,进而 $f'(x)<f'(0)=0$,于是在该区间上 $f(x)$ 单调递减,不符合题意.

综上所述,实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$.

2、当 $m=1$ 时,有 $f(x)={\rm e}^x-x-x^2$,从而\[f'(x)={\rm e}^x-1-2x,\quad f''(x)={\rm e}^x-2,\]因此 $f'(x)$ 在 $(0,\ln 2)$ 上单调递减,在 $(\ln 2,+\infty)$ 上单调递增,结合 $f'(0)=0$,可得函数 $f'(x)$ 在 $(\ln 2,+\infty)$ 上有唯一零点,记为 $t$,满足\[{\rm e}^t=1+2t,\]函数 $f(x)$ 在 $x=t$ 取得极小值,也为 $x\in (0,+\infty)$ 上的最小值\[T=f(t)={\rm e}^x-t-t^2=(1+2t)-t-t^2=-t^2+t+1.\]由于\[{\rm e}^t=1+2t>1+t+\dfrac 12t^2+\dfrac 16t^3\implies t<\dfrac{\sqrt {33}-3}2,\]从而\[T>-t^2+t+1\Bigg |_{t=\frac{\sqrt {33}-3}2}=2\sqrt{33}-11=0.489\cdots>\dfrac14,\]命题得证.

备注    $f(x)$ 的极小值真实值为 $0.6778\cdots$,事实上,由\[{\rm e}^t>1+t+\dfrac 12t^2+\dfrac 16t^3+\dfrac1{24}t^4\]可以证明 $t<\dfrac 43$,从而得到 $T>\dfrac 59=0.5555\cdots$.而题中 $\dfrac 14$ 的结果是由 $t<\dfrac 32$ 得到的.

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