如图，已知矩形 $ABCD$ 中，$AB=\sqrt 3$，$AD=1$，$AF\perp ABCD$ 且 $AF=3$，$E$ 为线段 $DC$ 上的点，连接 $FB,FC$．沿直线 $AE$ 将 $\triangle DAE$ 向上翻折成 $\triangle D'AE$，$M$ 为 $BD'$ 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 $A-BCF$ 的体积为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$
B．当点 $E$ 固定在线段 $DC$ 某位置时，$D'$ 在某个圆上运动
C．当点 $E$ 在线段 $DC$ 上运动时，$D'$ 在某个球面上运动
D．当点 $E$ 在线段 $DC$ 上运动时，三棱锥 $M-BCF$ 的体积的最小值为 $\dfrac{\sqrt 3}{12}$
已知 $a>0$，函数 $f(x)=(1-a x)\left(\mathrm{e}^x-1\right)$．
1、若 $a=1$，证明：当 $x>0$ 时，$f(x)<\ln (x+1)$．
2、若函数 $h(x)=\ln (x+1)-f(x)$ 存在极小值点 $x_0$，证明：$f\left(x_0\right) \geqslant 0$．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，以椭圆 $C$ 的短轴为直径的圆与直线 $y=a x+6$ 相切．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程．
2、直线 $l: y=k(x-1)$（$k \neq 0$）与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过 $C$ 上的点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交线段 $A B$ 于点 $Q$，直线 $O P$ 的斜率为 $k^{\prime}$（$O$ 为坐标原点），$\triangle A P Q$ 的面积为 $S_1$，$\triangle B P Q$ 的面积为 $S_2$，若 $|AP| \cdot S_2=|BP| \cdot S_1$，判断 $k \cdot k^{\prime}$ 是否为定值？并说明理由．
在棱长为 $1 $ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $B C, C C_1$ 的中点，$P$ 是侧面 $A D D_1 A_1$ 上的动点，且 $P C_1 \parallel A E F$，则点 $P$ 的轨迹长为_______，点 $P$ 到直线 $A F$ 的距离的最小值为_______．
平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 $ 1675 $ 年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M(-2,0)$，$N(2,0)$，动点 $P$ 满足 $|P M| \cdot|P N|=5$，则下列结论正确的是（ ）
A．点 $P$ 的横坐标的取值范围是 $\left[-\sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$
B．$|O P|$ 的取值范围是 $[1,3]$
C．$\triangle P M N$ 面积的最大值为 $\dfrac{5}{2}$
D．$|P M|+|P N|$ 的取值范围是 $\left[2 \sqrt{5}, 5\right]$
如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB=BD\cos\angle ABD$．
1、判断 $\triangle ABD$ 的形状并证明．
2、若 $AB=\sqrt 3AD$，$BC=2\sqrt 3CD=12$，求四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的最大值．
设点 $F$ 是双曲线 $\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}3=1$（$a>0$）的右焦点，过点 $F$ 的直线交双曲线 $C$ 的右支于点 $A,B$，分别交两条渐近线于点 $M,N$，点 $A,M$ 在第一象限，当 $l\perp x$ 轴时，$|AB|=6$．
1、求双曲线的标准方程．
2、若 $|AB|^2=60|AM|\cdot |AN|$，求直线 $l$ 的斜率．
若直线 $y=k_1x+b_1$ 与直线 $y=k_2x+b_2$（$k_1\ne k_2$）是曲线 $y=\ln x$ 的两条切线，也是曲线 $y={\rm e}^x$ 的两条切线，则 $k_1k_2+b_1+b_2$ 的值为（ ）
A．${\rm e}-1$
B．$0$
C．$-1$
D．$\dfrac{1}{\rm e}-1$
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=-\dfrac 12$，$a_{n+1}=\ln(a_n+1)-\sin a_n$，则下列说法正确的有（ ）
A．$a_n>a_{n+1}$
B．$-\dfrac 12\leqslant a_n\leqslant -\dfrac 14$
C．$a_{n+1}>-\dfrac{a_n^2}{a_n+2}$
D．$a_n\geqslant -\dfrac{1}{2^n}$
已知 $f(x),g(x)$ 都是定义在 $\mathbb R$ 上的可导函数，且 $f(x+3)=g(-x)+4$，$f'(x)+g'(1+x)=0$，函数 $g(2x+1)$ 为偶函数，则下列说法正确的有（ ）
A．$g'(1)=0$
B．函数 $f(x)$ 的图象关于 $x=2$ 对称
C．函数 $f'(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称
D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f'(k)g'(k)=1$
