Math173

已知 $a,b,c$ 是外接圆半径为 $R$ 的三角形三边长，则 $m=\dfrac{abc}{a^2+b^2+2c^2}$ 的最大值为_____（用 $R$ 表示）．

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已知 $\sin (\alpha+\beta)=m$，$\sin (\alpha-\beta)=n$，则 $\dfrac{\tan\alpha}{\tan\beta}=$ _____．

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有下列命题： ① $\exists x\in A,x\in B$； ② $\exists x\in A,x\notin B$； ③ $\forall x\in A,x\in B$； ④ $\forall x\in A,x\notin B$．

$(1)$ 当 $A=\varnothing$ 时，一定是真命题的有_____，一定是假命题的有_____；

$(2)$ 当 $B=\varnothing$ 时，一定是真命题的有_____，一定是假命题的有_____．

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已知函数 $f(x)=3\sqrt 5\sin \omega x+3\sqrt{15}\cos\omega x$（$\omega >0$）恰有两个对称中心在区间 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2\right]$ 上，且 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=f\left(\dfrac{\pi}2\right)$，则 $\omega$ 的所有可能的取值之和是（       ）

A．$6$

B．$\dfrac{21}2$

C．$\dfrac{23}2$

D．$16$

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已知二次曲线 $\Gamma:g(x,y)=0$ 上四点 $P_1,P_2,P_3,P_4$，若直线 $P_1P_3$ 与 $P_2P_4$ 交于点 $Q(x_0,y_0)$，直线 $P_1P_2$ 的直线方程为 $f(x,y)=0$，求直线 $P_3P_4$ 的方程．

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已知双曲线 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），$F$ 是双曲线的右焦点，$e$ 为双曲线的离心率．

1、过 $F$ 作渐近线的垂线，与双曲线和两条渐近线依次交于 $A,B,C$．

① 若 $\overrightarrow{FA}=\lambda\overrightarrow{FB}$，求 $e$；

② 若 $\overrightarrow{FB}=\mu\overrightarrow{FC}$，求 $e$．

2、若 $F$ 作渐近线的平行线，与双曲线以及双曲线的另一条渐近线交于 $D,E$，若 $\overrightarrow{FD}=t\overrightarrow{FE}$，求 $e$．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上三点 $P,A,B$，其中 $P(x_0,y_0)$，若直线 $PA,PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求直线 $AB$ 的方程．

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已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 和 $A(-1,0), B\left(\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right)$，$ P$ 是直线 $y=2$ 上的动点，$C$ 是线段 $P A$ 与椭圆 $E$ 的交点，线段 $P B$ 的延长线与椭圆 $E$ 交于点 $D$．求证：直线 $C D$ 过定点．

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已知点 $B(-2,-1)$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 内一点，过点 $A(-8,0)$ 作直线 $l$ 与椭圆交于 $P, Q$ 两点，直线 $P B$ 与椭圆交于另一点 $N$，证明：直线 $Q N$ 过定点．

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已知 $\triangle PAB,\triangle PCD$ 均为正三角形且 $PA=2PC$，则 $\dfrac{BD}{AC}$ 的取值范围是_____．

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