有关多边形的构造又一则

        这是 2008 年莫斯科数学竞赛中的一个问题．

构造一个多边形，使得这个多边形的边界上存在这样的一个点 O ：经过点 O 的任意直线均会把该多边形分成面积相等的两部分．

这看起来不大可能对吧？但其实构造却并不困难．你能想出来吗？

        首先，在平面直角坐标系的第一象限内，沿着坐标轴放置一个等腰直角三角形．在第二象限内，拼接一个面积相等的等腰梯形．在第三象限和第四象限内，继续摆放面积相等的等腰梯形，并且让它们离原点越来越远，以保证最终所得的图形确实是一个多边形（而不是一块环形区域）．现在，把平面直角坐标系的原点记作点$O$，则过点$O$的任意一条直线都将把整个多边形分成面积相等的两份．

      验证很简单，如上图（只是随意举一个例子）．由于

 

$$\frac {\triangle OAR}{\triangle OBR}=\frac {\triangle OCQ}{\triangle OFQ}=\frac {\triangle ODP}{\triangle OEQ},$$

因此

$$\frac {\triangle OAR}{\triangle OBR}=\frac {CDPQ}{PQFE}.$$ 又

$${\triangle OAR}+{\triangle OBR}={CDPQ}+{PQFE},$$

于是

$$\triangle OAR+CDPQ=\triangle OBR +PQFE.$$