动态问题中的不变量

（2010年西城区二模选择压轴题）
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$AC=4$，$BC=2$，点$A,C$分别在$x$轴、$y$轴上，当点$A$在$x$轴上运动时，点$C$随之在$y$轴上运动，在运动过程中，点$B$到原点的最大距离是 ______．

答案    $2\sqrt 2+2$．

分析    相信大家对下面这道题目不会陌生．$\odot C$半径为$r$，点$B$到圆心$C$的距离为$k$$(k>r)$，点$A$为圆上一点，则$BA$的最大值为$k+r$，最小值$k-r$，所以三角形是寻求不变量很好的媒介．
因为$OB$长度是变化的，所以我们的突破口就是在变化的图形中去寻求不变量，由于$\mathrm {Rt}\triangle ABC$三边长固定，$\mathrm {Rt}\triangle AOC$斜边长固定，所以取$AC$的中点$M$，此时$BM$与$OM$的线段长是定值，所以当$OB=BM+OM$，$OB$取到最大值．

点评
① 如果把上题变为，当直角顶点$C$在$x$轴上时，那么$OB$的最大值为多少？答案    $2+2\sqrt 2$．

② 当$\triangle ABC$为等边三角形时，边长为$2$，$OB$的最大值为多少？答案    $1+\sqrt 3$．

练习    如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A=90^\circ$，$AC=4$，$AB=2$，点$B、A$分别在$x$轴、$y$轴上，当点$B$在$x$轴上运动时，点$A$随之在$y$轴上运动，在运动过程中，点$C$到原点的最小距离是 ______．答案    $\sqrt{17}-1$．

提示    取$AB$的中点$M$，此时$MC$与$OM$的线段长是定值，当$OC=MC-OM$时，$OC$取到最小值．