练习题[23] 基础练习

1、（2015·新课标I·文12）设函数$y=f(x)$的图象与$y=2^{x+a}$的图象关于直线$y=-x$对称，且$f(-2)+f(-4)=1$，则$a=$_______．

2、（2015·新课标I·文16）已知$P$是双曲线$C:x^2-\dfrac{y^2}{8}=1$的右焦点，$P$是$C$左支上一点，$A\left(0,6\sqrt 6\right)$，当$\triangle APF$周长最小时，该三角形的面积是为_______．

3、（2015·新课标II·理12）设函数$f'(x)$是奇函数$f(x)(x\in\mathcal R)$的导函数，$f(-1)=0$，当$x>0$时，$xf'(x)-f(x)<0$，则使得$f(x)>0$成立的$x$的取值范围是_______．

4、（2015·新课标II·理16）设$S_n$是数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和，且$a_1=-1$，$a_{n+1}=S_nS_{n+1}$，则$S_n=$________．

5、已知定义在$(0,+\infty)$上的函数$f(x)$为单调函数，且$f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)=1$，则$f(x)=$_______．

6、已知$f(x)=\ln x$，$g(x)={\mathrm e}^x$．设直线$l$为$f(x)$上点$A(x_0,f(x_0)$处的切线．证明：在区间$(1,+\infty)$上存在唯一的$x_0$，使$l$与$g(x)$相切．

7、已知函数$f(x)=\left(x^2-a\right){\mathrm e}^x$，$a\in\mathcal R$．

（1）当$a=0$时，求函数$f(x)$的单调区间；

（2）若在区间$1,2$上存在不相等的实数$m,n$，使$f(m)=f(n)$成立，求$a$的取值范围；

（3）若函数$f(x)$有两个不同的极值点$x_1,x_2$，求证：$f(x_1)f(x_2)<4{\mathrm e}^{-2}$．

参考答案

1、$2$

2、$12\sqrt 6$

3、$(-\infty,-1)\cup (0,1)$     提示    构造函数$y=\dfrac{f(x)}{x}$．

4、$-\dfrac 1n$．

5、$\dfrac{f(1)}{x}$，其中$f(1)=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\lor f(1)=\dfrac{1-\sqrt 5}{2}$．

6、略

7、（1）单调递增区间为$(-\infty,-2)$，$(0,+\infty)$；单调递减区间为$(-2,0)$（2）$(3,8)$；（3）略．