练习题集[96]基础练习

1.有$A,B,C$三种粒子,其中$A$有$20$个,$B$有$18$个,$C$有$16$个.已知其中任何两种不同的粒子各$1$个可以经过操作得到$2$个第三种粒子,问是否存在使得这三种粒子变成同一种粒子的操作方案.

2.设抛物线$C:y^2=2px$($p>0$)的焦点为$F$,点$M$在$C$上,$|MF|=5$.若以$MF$为直径的圆过点$(0,2)$,则$C$的方程为(  )
A.$y^2=4x$或$y^2=8x$
B.$y^2=2x$或$y^2=8x$
C.$y^2=4x$或$y^2=16x$
D.$y^2=2x$或$y^2=16x$

3.已知$x>0$,求$y=\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2}}+2\sqrt{\dfrac{x}{1+x}}$的最大值.

4.设$F$为抛物线$y^2=4x$的焦点,$A,B,C$为该抛物线上三点,若$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$,则$|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}|=$______.

5.已知数列$\{a_n\}$满足条件$a_{n+1}=-\dfrac{(a_n+1)^2}{a_n+2}$,首项$a_1=-\dfrac 12$,求$\lim\limits_{n\to \infty}a_n$.

6.使得$2016+2^n$为完全平方数的正整数$n$的个数为(  )
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.无穷个

7.设$x=1+\sqrt 2+\sqrt 3$为整系数多项式$p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$的一个根,则$d$的值是_______.


参考答案

1.可能的操作如下表.\[\begin{matrix} A&B&C\\  +2& -1&-1\\ -1&+2&-1\\ -1&-1&+2\\  \end{matrix}\]根据题意,无论如何操作,粒子$A$与$B$的个数之差的变换量一定为$3$的倍数,因此粒子$A$与$B$的数量之差必然模$3$余$2$,不可能存在使得这三种粒子变成同一种粒子的操作方案.

 粒子$A$与$B$的数量之差模$3$的余数是操作下的不变量.

2.C.

一方面,根据抛物线的定义易得以$MF$为直径的圆与$y$轴相切,结合题意可得切点为$(0,2)$,于是线段$MF$的中点纵坐标为$2$,进而$M$点的纵坐标为$4$,于是$M\left(\dfrac{8}{p},4\right)$.另一方面,由$MF=5$,可得$M$点的横坐标为$5-\dfrac p2$.因此\[\dfrac 8p=5-\dfrac p2,\]解得$p=2$或$p=8$.

3.$\dfrac{3\sqrt 2}2$.

令$x=\tan \theta$,$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$,则\[y=\cos \theta+2\sqrt{\dfrac{\sin \theta}{\sin \theta+\cos \theta}},\]其导函数\[y'_{\theta}=\sqrt{\dfrac{1}{\sin\theta\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^3}}-\sin \theta=\sqrt{\dfrac{1}{\left(\sin ^2\theta+\sin\theta\cos\theta\right)^3}\cdot \sin^2\theta}-\sqrt{\sin^2\theta},\]而\[\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta=\dfrac {1+\sqrt 2\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}4\right)}2,\]于是当$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$时,$y_{\theta}$单调递增;当$\theta\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$时,$y_{\theta}$单调递减;当$\theta=\dfrac{\pi}4$时,$y_{\theta}$取得最大值$\dfrac{3\sqrt 2}2$.因此所求的最大值为$\dfrac{3\sqrt 2}2$.

4.$6$.

设$A,B,C$的横坐标分别为$x_1,x_2,x_3$,根据题意,有\[x_1+x_2+x_3=3\cdot \dfrac p2=3,\]其中$\dfrac p2$为$F$的横坐标,于是\[|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}|=(x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)=(x_1+x_2+x_3)+3=6.\]

5.递推公式对应的不动点为$x=-1\pm\dfrac{\sqrt 2}2$,于是有\[\begin{aligned} a_{n+1}+1-\dfrac{\sqrt 2}2&=-\dfrac{\left(a_n+1-\dfrac{\sqrt 2}2\right)\left(a_n+\sqrt 2\right)}{a_n+2},\\ a_{n+1}+1+\dfrac{\sqrt 2}2&=-\dfrac{\left(a_n+1+\dfrac{\sqrt 2}2\right)\left(a_n-\sqrt 2\right)}{a_n+2},\end{aligned}\]迭代函数$$f(x)=-\dfrac {(x+1)^2}{x+2}=-\left[(x+2)+\dfrac 1{x+2}\right]+2,$$在$(-1,+\infty)$上单调递减,容易证明\[-\dfrac 12\leqslant a_n\leqslant -\dfrac 16,\]

于是\[\left|-\dfrac{a_n+\sqrt 2}{a_n+2}\right|<\dfrac{2\sqrt 2-1}3<1,\]因此\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=-1+\dfrac{\sqrt 2}2.\]6.A.

考虑到$2016=2^5\cdot 63$,而当$n=1,2,3,4,5$时,$2016+2^n$不是完全平方数,于是$n\geqslant 6$,此时\[126+2^{n-4}\equiv 2\pmod 4,\]于是$126+2^{n-4}$不是完全平方数.因此不存在使得$2016+2^n$为完全平方数的正整数$n$.

7.$-8$.

根据题意,该整系数多项式的四个根分别为\[1+\sqrt 2+\sqrt 3,1+\sqrt 2-\sqrt 3,1-\sqrt 2+\sqrt 3,1-\sqrt 2-\sqrt 3,\]因此\[d=\left[(1+\sqrt 2)^2-3\right]\cdot \left[(1-\sqrt 2)^2-3\right]=-8.\]事实上,有\[p(x)=x^4-4x^3-4x^2+16x-8.\]

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