每日一题[979]放缩与估计

设函数$f(x)={\rm e}^x-x$,$g(x)=-kx^3+kx^2-x+1$.
(1)求$f(x)$的最小值;
(2)若使得对任意$x\in [0,1]$均有$f(x)\geqslant g(x)$成立的$k$的最大值为$\lambda$,求证:$5<\lambda<5.2$.


cover

分析与解 (1) 函数$f(x)$的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-1,\]于是当$x=0$时,$f(x)$取得极小值,亦为最小值$f(0)=1$.

(2) 题意等价于\[\forall x\in (0,1),k\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2-x^3}.\]记右侧函数为$\varphi(x)$,于是$\lambda $为$\varphi(x)$在$(0,1)$上的下确界.

一方面,有\[\lambda\leqslant \varphi\left(\dfrac 12\right)=8\left(\sqrt{\rm e}-1\right)<5.2.\]

另一方面,考虑证明在$x\in (0,1)$上,有$\varphi(x)>5$,即\[\forall x\in (0,1),{\rm e}^x\geqslant 5x^2-5x^3+1.\]事实上,容易证明\[\forall x\in (0,1),{\rm e}^x>1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3,\]因此只需要证明\[\forall x\in (0,1),1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3\geqslant 5x^2-5x^3+1,\]也即\[\forall x\in (0,1),x\left(31x^2-27x+6\right)\geqslant 0,\]而右侧二次函数部分的判别式$\Delta=-15<0$,因此不等式成立.这就证明了$\lambda>5$.

综上所述,原命题得证.

 $8\left(\sqrt{\rm e}-1\right)<5.2$即${\rm e}<\dfrac{1089}{400}=2.7225$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复