练习题集[96]基础练习

1．有$A,B,C$三种粒子，其中$A$有$20$个，$B$有$18$个，$C$有$16$个．已知其中任何两种不同的粒子各$1$个可以经过操作得到$2$个第三种粒子，问是否存在使得这三种粒子变成同一种粒子的操作方案．

2．设抛物线$C:y^2=2px$($p>0$)的焦点为$F$，点$M$在$C$上，$|MF|=5$．若以$MF$为直径的圆过点$(0,2)$，则$C$的方程为(　　)
A．$y^2=4x$或$y^2=8x$
B．$y^2=2x$或$y^2=8x$
C．$y^2=4x$或$y^2=16x$
D．$y^2=2x$或$y^2=16x$

3．已知$x>0$，求$y=\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2}}+2\sqrt{\dfrac{x}{1+x}}$的最大值．

4．设$F$为抛物线$y^2=4x$的焦点，$A,B,C$为该抛物线上三点，若$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$，则$|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}|=$______．

5．已知数列$\{a_n\}$满足条件$a_{n+1}=-\dfrac{(a_n+1)^2}{a_n+2}$，首项$a_1=-\dfrac 12$，求$\lim\limits_{n\to \infty}a_n$．

6．使得$2016+2^n$为完全平方数的正整数$n$的个数为(　　)
A．$0$
B．$1$
C．$2$
D．无穷个

7．设$x=1+\sqrt 2+\sqrt 3$为整系数多项式$p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$的一个根，则$d$的值是_______．

参考答案

1．可能的操作如下表． $$\begin{matrix} A&B&C\\  +2& -1&-1\\ -1&+2&-1\\ -1&-1&+2\\  \end{matrix}$$ 根据题意，无论如何操作，粒子$A$与$B$的个数之差的变换量一定为$3$的倍数，因此粒子$A$与$B$的数量之差必然模$3$余$2$，不可能存在使得这三种粒子变成同一种粒子的操作方案．

注　粒子$A$与$B$的数量之差模$3$的余数是操作下的不变量．

2．C．

一方面，根据抛物线的定义易得以$MF$为直径的圆与$y$轴相切，结合题意可得切点为$(0,2)$，于是线段$MF$的中点纵坐标为$2$，进而$M$点的纵坐标为$4$，于是$M\left(\dfrac{8}{p},4\right)$．另一方面，由$MF=5$，可得$M$点的横坐标为$5-\dfrac p2$．因此 $$\dfrac 8p=5-\dfrac p2,$$ 解得$p=2$或$p=8$．

3．$\dfrac{3\sqrt 2}2$．

令$x=\tan \theta$，$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则 $$y=\cos \theta+2\sqrt{\dfrac{\sin \theta}{\sin \theta+\cos \theta}},$$ 其导函数 $$y'_{\theta}=\sqrt{\dfrac{1}{\sin\theta\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^3}}-\sin \theta=\sqrt{\dfrac{1}{\left(\sin ^2\theta+\sin\theta\cos\theta\right)^3}\cdot \sin^2\theta}-\sqrt{\sin^2\theta},$$ 而 $$\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta=\dfrac {1+\sqrt 2\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}4\right)}2,$$ 于是当$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$时，$y_{\theta}$单调递增；当$\theta\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$时，$y_{\theta}$单调递减；当$\theta=\dfrac{\pi}4$时，$y_{\theta}$取得最大值$\dfrac{3\sqrt 2}2$．因此所求的最大值为$\dfrac{3\sqrt 2}2$．

4．$6$．

设$A,B,C$的横坐标分别为$x_1,x_2,x_3$，根据题意，有 $$x_1+x_2+x_3=3\cdot \dfrac p2=3,$$ 其中$\dfrac p2$为$F$的横坐标，于是 $$|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}|=(x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)=(x_1+x_2+x_3)+3=6.$$

5．递推公式对应的不动点为$x=-1\pm\dfrac{\sqrt 2}2$，于是有 $$\begin{aligned} a_{n+1}+1-\dfrac{\sqrt 2}2&=-\dfrac{\left(a_n+1-\dfrac{\sqrt 2}2\right)\left(a_n+\sqrt 2\right)}{a_n+2},\\ a_{n+1}+1+\dfrac{\sqrt 2}2&=-\dfrac{\left(a_n+1+\dfrac{\sqrt 2}2\right)\left(a_n-\sqrt 2\right)}{a_n+2},\end{aligned}$$ 迭代函数 $$f(x)=-\dfrac {(x+1)^2}{x+2}=-\left[(x+2)+\dfrac 1{x+2}\right]+2,$$ 在$(-1,+\infty)$上单调递减，容易证明 $$-\dfrac 12\leqslant a_n\leqslant -\dfrac 16,$$

于是 $$\left|-\dfrac{a_n+\sqrt 2}{a_n+2}\right|<\dfrac{2\sqrt 2-1}3<1,$$ 因此 $$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=-1+\dfrac{\sqrt 2}2.$$ 6．A．

考虑到$2016=2^5\cdot 63$，而当$n=1,2,3,4,5$时，$2016+2^n$不是完全平方数，于是$n\geqslant 6$，此时 $$126+2^{n-4}\equiv 2\pmod 4,$$ 于是$126+2^{n-4}$不是完全平方数．因此不存在使得$2016+2^n$为完全平方数的正整数$n$．

7．$-8$．

根据题意，该整系数多项式的四个根分别为 $$1+\sqrt 2+\sqrt 3,1+\sqrt 2-\sqrt 3,1-\sqrt 2+\sqrt 3,1-\sqrt 2-\sqrt 3,$$ 因此 $$d=\left[(1+\sqrt 2)^2-3\right]\cdot \left[(1-\sqrt 2)^2-3\right]=-8.$$ 事实上，有 $$p(x)=x^4-4x^3-4x^2+16x-8.$$