练习题集[60]基础练习

1、在$\triangle ABC$中，$BC=2$，$AC=3$，$\overrightarrow {AD}=2\overrightarrow{DB}$，$CD=1$，则$\cos A=$_______．

2、在$\triangle ABC$中，$M$是$BC$的中点，$BM=2$，$AM=AB-AC$，则$\triangle ABC$的面积的最大值为_______．

3、在$\triangle ABC$中，$D$是边$BC$上一点，且$BD=4CD$，$\angle BAD=4\angle  CAD=120^\circ$，若$AC=\sqrt 3$，则$\triangle ABC$的面积为_______．

4、已知$n$是正整数，求证：$\forall x\in\mathcal R^*,\left|\dfrac{\sin nx}{\sin x}\right|\leqslant n$．

5、已知不等式$\ln (x+1)-1\leqslant ax+b$对一切$x>-1$都成立，则$\dfrac{b}a$的最小值是_______．

6、设$f(x)={\rm e}^{-2x}(x+1)+x+x\ln x$，$x_1,x_2\in (0,1)$，求证：$f(x_1)-f(x_2)<{\rm e}^{-1}+2{\rm e}^{-2}$．

7、已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=ca_n^2+1-c$($n\in\mathcal N^*$)，其中常数$c\in \left(0,\dfrac 12\right)$．

（1）若$a_2>a_1$，求$a_1$的取值范围；

（2）若$a_1\in (0,1)$，求证：$\forall n\in {\mathcal N}^*,0<a_n<1$；

（3）若$a_1\in (0,1)$，求证：$a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2>n-\dfrac{1}{1-2c}$．

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参考答案

1、$\dfrac{13\sqrt{21}}{63}$

2、$2\sqrt 3$

提示　以$BC$所在直线为$x$轴建系，点$A$既在以$M$为圆心的圆上，也在以$B,C$为焦点的双曲线上，而所求面积只与$A$的纵坐标相关．

3、$\sqrt 3$

提示    由正弦定理可得

$$\dfrac{BD}{\sin \angle BAD}=\dfrac{AB}{\sin \angle BDA},\dfrac{AC}{\sin \angle ADC}=\dfrac{CD}{\sin \angle CAD},$$ 于是可得$AB=4$．

4、利用数学归纳法证明即可．

5、$1-{\rm e}$

提示    取函数$y=\ln (x+1)-1$的切线．

6、提示　可以证明函数

$$g(x)={\rm e}^{-2x}(x+1)+x$$ 单调递增，从而有 $$g(x)\in (1,1+2{\rm e}^{-2}).$$ 又因为 $$x\ln x\in[-{\rm e}^{-1},0),$$ 于是得到所证结论．

7、（1）解关于$a_1$的不等式

$$ca_1^2+1-c>a_1,$$ 可得$a_1<1$或$a_1>\dfrac 1c-1$．

（2）将递推关系变形为

$$1-a_{n+1}=c(1-a_n)(1+a_n)$$ 即得．

（3）只需要证明

$$(1-a_1^2)+(1-a_2^2)+\cdots +(1-a_n^2)<\dfrac{1}{1-2c}.$$ 考虑等比放缩，根据第（2）小题的结果，有 $$\dfrac{1-a_{n+1}^2}{1-a_n^2}=c(1+a_{n+1})<2c,$$ 又$1-a_1^2<1$，从而原命题得证．