1、在直角三角形ABC中，斜边AB=10，AC=6，P是斜边AB上一点，Q是BC边上一点，且∠CPQ为直角，则线段CQ长度的最小值是_______．
2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a2=2，且满足Sn+Sn+1+Sn+2=3n2+6n+5,则S11=_______．
3、在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+2x+3m的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C，则圆C经过定点的坐标为_______．
4、设对任意a⩽−1，b⩽m，均有a⋅2b−b−3a⩾0成立，则实数m的最大值_______．
5、已知C,D是以AB为直径的半圆上的两个动点，若AB=2，则→AD⋅→BC的取值范围是_______．
6、已知a,b,c∈R，则min的最大值为_______．
7、已知椭圆C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B，右焦点为F．P是椭圆C上不同于A,B的动点，直线AP交直线x=a于点D，求证：以BD为直径的圆恒与直线PF相切．
参考答案
1、6
2、119
提示 S_{11}=(S_{11}-S_8)+(S_8-S_5)+(S_5-S_2)．
3、(0,1)和(-2,1)
提示 由交点曲线系可得圆C:x^2+2x-y+3m+y(y-3m)=0．
4、1
提示 以a为主元思考．
5、\left[-4,\dfrac 12\right]
6、\dfrac{1+\sqrt 2}2
提示 设题中代数式为m，则\begin{split} 3m&\leqslant \sum_{cyc}a+\sum_{cyc}\sqrt{b-c^2}\\ &\leqslant \sum_{cyc}a+\sqrt{3\left(\sum_{cyc}a-\sum_{cyc}a^2\right)}\\ &\leqslant \sum_{cyc}a+\sqrt{3\sum_{cyc}a-\left(\sum_{cyc}a\right)^2}.\end{split} 考虑到x+\sqrt{3x-x^2}=x-\dfrac 32+\sqrt{\dfrac 94-\left(x-\dfrac 32\right)^2}+\dfrac 32\leqslant 2\cdot \sqrt{\dfrac 98}+\dfrac 32=3\cdot\dfrac{1+\sqrt 2}2,于是原式最大值为\dfrac{1+\sqrt 2}2，当a=b=c=\dfrac{2+\sqrt 2}4时取得．
7、设BD的中点M(a,m)，则D(a,2m)，进而可得AD:\dfrac xa=\dfrac ym-1,与椭圆方程联立可得P\left(\dfrac{a(b^2-m^2)}{m^2+b^2},\dfrac{2mb^2}{m^2+b^2}\right)．于是\dfrac{\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{FB}|}=\dfrac{(a-c,m)\cdot (a-c,0)}{|a-c|}=a-c,而\begin{split} \dfrac{\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{FP}}{|\overrightarrow{FP}|}&=\dfrac{(a-c,m)\cdot \left(\dfrac{a(b^2-m^2)}{m^2+b^2}-c,\dfrac{2mb^2}{m^2+b^2}\right)}{\left|\left(\dfrac{a(b^2-m^2)}{m^2+b^2}-c,\dfrac{2mb^2}{m^2+b^2}\right)\right|} \\ &=\dfrac{(a^2-c^2)\left[(a-c)^2+m^2\right]}{\sqrt{(a+c)^2\left[(a-c)^2-m^2\right]^2+4m^2(a+c)^2(a-c)^2}}\\ &=a-c,\end{split} 从而 \overrightarrow{FM}与 \overrightarrow{FB}和 \overrightarrow{FP}的夹角相等，命题得证．