练习题集[47]基础练习

1、已知$0<x<y$，$2<x^2+y<\dfrac 52$，则下列选项中不正确的是（       ）

A．$\sin x^2<\sin \left(\dfrac 52-y\right)$

B．$\sin x^2>\sin (2-y)$

C．$\sin (2-x^2)<\sin y$

D．$\sin x^2<\cos (y-1)$

2、设动直线$y=kx+m$($k,z\in\mathcal Z$)与椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$交于不同的两点$A,B$，与双曲线$\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}{12}=1$交于不同的两点$C,D$，且$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow 0$，则符合条件的直线共有_______条．

3、已知平面四边形$ABCD$中，$AB=13$，$AC=10$，$AD=5$，$\cos\angle BAC=\dfrac{12}{13}$，$\cos\angle DAC=\dfrac 35$，$\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，则$x+y$的值为_______．

4、矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=3$，$M,N$分别为线段$BC,CD$上的点，且$\dfrac{1}{CM^2}+\dfrac{1}{CN^2}=1$，若$\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}$，则$x+y$的最小值是_______．

5、已知$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=\dfrac 12\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c=1$，则$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|$的取值范围是_______．

6、已知$a_1=\dfrac 13$，$a_{n+1}=-2a_n^2+2a_n$，求证：$4(a_1+a_2+\cdots +a_n)\geqslant 2n-1+\dfrac{1}{3^n}$．

7、已知$x_1\ln x_1=x_2\ln x_2$，且$x_1<x_2$．

（1）证明：$1<\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}<\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}$；

（2）若$x_1^a+x_2^a>1$恒成立，求$a$的取值范围．

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参考答案

1、C

2、$9$

提示    $m=0$或$k=0$．

3、$\dfrac{10}7$

4、$\dfrac 54$

5、$[4,+\infty)$

提示    令$\overrightarrow a=(1,0)$，$\overrightarrow b=(1, x)$，$\overrightarrow c=\left(2,-\dfrac 1x\right)$．

6、提示    利用不动点$\dfrac 12$改造递推公式即可．

7、（1）略；（2）$(-\infty,\ln 2]$．

提示    对称化构造函数即可．