练习题[6] 创新能力培养基础练习

1、已知圆$O:x^2+y^2=1$．若直线$y=kx+2$上总存在点$P$，使得过点$P$的圆$O$的两条切线互相垂直，则实数$k$的取值范围是_______．

2、已知曲线$C:\sqrt{2x+y-\sqrt 2}\cdot\sqrt{4x^2+y^2-2}=0$，对于下列命题：

① 曲线$C$为轴对称图形；

② 曲线$C$与坐标轴围成封闭图形的面积小于$\dfrac{\pi}2$；

③ 曲线$C$上的点到原点的距离最小值为$\dfrac{\sqrt{10}}5$；

④ 已知点$A\left(0,-\dfrac{\sqrt 6}2\right)$，$B\left(0,\dfrac{\sqrt 6}{2}\right)$，$P$为曲线$C$上一点，则有$PA+PB\geqslant 2\sqrt 2$．

上述命题中，真命题的序号是_______．

3、某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款规则如下：

① 如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；

② 如果一次性购物超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；

③ 如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．

甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品，实际付款450元，若丙一次性购买A、B两件商品，则应付款_______元．

4、设函数

$$f(x)=\begin{cases}|x-a|,&x\leqslant 1,\\{\log_2}x,&x>1.\end{cases}$$

（1）如果$f(1)=3$，那么实数$a=$_______；

（2）如果函数$y=f(x)-2$有且仅有两个零点，那么实数$a$的取值范围是_______．

5、已知两点$M(-1,0)$，$N(1,0)$，若直线$y=k(x-2)$上至少存在三个点$P$，使得三角形$MNP$是直角三角形，则实数$k$的取值范围是_______．

6、阅读下面的框图，回答问题：

 （1）若输入$a=1$，$\Delta=0.1$，则输出的$x_1=$_______；

（2）如输入$a=2$，则对输入$\forall\Delta >0$，均有输出的$x_1$满足：

① $N<x_1$；② $x_1\leqslant M$．

选定你认为正确的结论_______，指出$N$或$M$的取值范围________．

7、已知数集$A=\left\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\right\}$，其中$0\leqslant a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，具有性质：

对于任意$i,j\in\mathcal N$，其中$1\leqslant i\leqslant j \leqslant 5$，$a_j+a_i$与$a_j-a_i$中至少有一个属于$A$．

若$a_5=60$，则$a_1=$_______；$a_3=$_______．

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参考答案

1、$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$

2、②④

3、520

4、（1）$4$或$-2$；（2）$(-1,3]$

5、$\left[-\dfrac{\sqrt 3}3,0\right)\cup\left(0,\dfrac{\sqrt 3}3\right]$

6、（1）$\dfrac{3281}{3280}$；（2）①②均正确；$N\leqslant\sqrt 2$，$M\geqslant\dfrac{9}{4}$．

7、$0$；$30$