练习题[31] 基础练习

1、平面上的三角形$ABC$中，$AC=6$，$BC=7$，$\cos A=\dfrac 15$，$I$是三角形$ABC$的内心，若$\overrightarrow {IP}=x\overrightarrow {IA}+y\overrightarrow {IB}$，其中$x,y\in [0,1]$，则动点$P$的轨迹形成的面积是_______．

2、在三角形$ABC$中，三边长$a,b,c$满足$ab+ac=bc$，则$\sin A$的最大值是_______．

3、直角三角形$ABC$的三个顶点都在单位圆$x^2+y^2=1$上，点$M\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$，则$\left|\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}\right|$的最大值是_______．

4、在平行四边形$ABCD$中，$AD=2$，$\angle BAD=60^\circ$，$M$为边$CD$的三等分点，且$\dfrac{MC}{MD}=\dfrac 12$．若$\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {BM}=4$，则$\left|\overrightarrow {AB}\right|$的值为_______．

5、已知函数$f(x)$满足对任意实数$x$均有$f(-x)+f(x)=x^2$，且对任意正实数$x$，均有$f'(x)>x$．若$f(1-a)-f(a)\geqslant \dfrac 12-a$，则$a$的取值范围是_______．

6、在三角形$ABC$中，$a^3+b^3=c^3$，则$\triangle ABC$是_______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角）．

7、已知点集

$$M=\left\{(a,b)|(a-\cos \alpha)^2+(b-\sin \alpha)^2=4,0\leqslant \alpha\leqslant \pi\right\},$$ 则$M$在平面直角坐标系中表示的区域面积是_______．

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参考答案

1、$\dfrac{10{\sqrt 6}}{3}$

提示    即三角形$IAB$面积的$2$倍．

2、$\dfrac{\sqrt{15}}8$

根据已知，有

$$a=\dfrac{bc}{b+c},$$ 于是 $$\begin{split} \cos A&=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\&=\dfrac{b^2+c^2-\left(\frac{bc}{b+c}\right)^2}{2bc}\\&=\dfrac{b^2+c^2}{2bc}-\dfrac{bc}{2(b+c)^2}\\&\geqslant \dfrac{2bc}{2bc}-\dfrac{bc}{2\cdot 4bc}\\&=\dfrac 78,\end{split}$$ 等号当$b=c$时取得，因此$\sin A$的最大值为 $$\sqrt{1-\left(\dfrac 78\right)^2}=\dfrac{\sqrt {15}}8.$$

3、$\dfrac{3\sqrt 2}2+1$

不妨设$AB$为直径，则

$$\begin{split} \overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}&=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}-3\overrightarrow {OM}\\&= \overrightarrow {OC}-3\overrightarrow {OM},\end{split}$$ 而 $$\left|\overrightarrow {OC}-3\overrightarrow {OM}\right|\leqslant \left|\overrightarrow {OC}\right|+3\left|\overrightarrow {OM}\right|=\dfrac{3\sqrt 2}2+1,$$ 等号当$\overrightarrow {OC}$与$\overrightarrow {OM}$反向时取得．

4、$2$

5、$\left(-\infty ,\dfrac 12\right]$

提示    构造函数$g(x)=f(x)-\dfrac 12x^2$．

6、锐角三角形

提示    构造函数$f(x)=\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x$，或比较$(a^2+b^2)^3-c^6$．

7、$\dfrac{16\pi}3+2\sqrt 3$

提示    如图，注意其中的空心部分．