1、平面上的三角形ABC中,AC=6,BC=7,cosA=15,I是三角形ABC的内心,若→IP=x→IA+y→IB,其中x,y∈[0,1],则动点P的轨迹形成的面积是_______.
2、在三角形ABC中,三边长a,b,c满足ab+ac=bc,则sinA的最大值是_______.
3、直角三角形ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上,点M(12,12),则|→MA+→MB+→MC|的最大值是_______.
4、在平行四边形ABCD中,AD=2,∠BAD=60∘,M为边CD的三等分点,且MCMD=12.若→AC⋅→BM=4,则|→AB|的值为_______.
5、已知函数f(x)满足对任意实数x均有f(−x)+f(x)=x2,且对任意正实数x,均有f′(x)>x.若f(1−a)−f(a)⩾12−a,则a的取值范围是_______.
6、在三角形ABC中,a3+b3=c3,则△ABC是_______三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角).
7、已知点集M={(a,b)|(a−cosα)2+(b−sinα)2=4,0⩽α⩽π},则M在平面直角坐标系中表示的区域面积是_______.
参考答案
1、10√63
提示 即三角形IAB面积的2倍.
2、√158
根据已知,有a=bcb+c,于是cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−(bcb+c)22bc=b2+c22bc−bc2(b+c)2⩾2bc2bc−bc2⋅4bc=78,等号当b=c时取得,因此sinA的最大值为√1−(78)2=√158.
3、3√22+1
不妨设AB为直径,则→MA+→MB+→MC=→OA+→OB+→OC−3→OM=→OC−3→OM,而|→OC−3→OM|⩽|→OC|+3|→OM|=3√22+1,等号当→OC与→OM反向时取得.
4、2
5、(−∞,12]
提示 构造函数g(x)=f(x)−12x2.
6、锐角三角形
提示 构造函数f(x)=(ac)x+(bc)x,或比较(a2+b2)3−c6.
7、16π3+2√3