每日一题[275] GPS定位

2012年高考上海卷理科数学第14题（填空压轴题）：

如图，\(AD\)与\(BC\)是四面体\(ABCD\)中互相垂直的棱，\(BC=2\)．若\(AD=2c\)，且\(AB+BD=AC+CD=2a\)，其中\(a\)、\(c\)为常数，则四面体\(ABCD\)的体积的最大值是_______．

正确答案是\(\dfrac{2c}3\sqrt{a^2-c^2-1}\)．

解    首先对于用对边来描述的四面体，我们一般都将其放入平行六面体中，利用平行六面体，如《每日一题[193] 四面体的外接平行六面体》，如图．

这样我们就有对边描述的四面体体积公式\[V_{ABCD}=\dfrac 16\cdot AD\cdot BC\cdot d(AD,BC)\cdot \sin\langle AD,BC\rangle,\]其中\(d(AD,BC)\)表示异面直线\(AD\)与\(BC\)的距离，\(\langle AD,BC\rangle\)表示异面直线\(AD\)与\(BC\)所成的角．

回到本问题，\(AB+BD=AC+CD=2a\)描述的事实为\(B\)点和\(C\)点到两定点\(A\)、\(D\)的距离之和为\(2a\)，于是点\(B\)、\(C\)都在以\(A\)、\(D\)为焦点的椭球上，如图．利用椭球，不难对四面体\(ABCD\)的顶点\(B\)和\(C\)进行“GPS定位”．

由于\(AD\perp BC\)，于是\(BC\)必然为某个垂直于\(AD\)的平面截椭球形成的圆的弦，且\(d(AD,BC)\)即该圆的圆心到弦的距离．

我们知道，当弦长固定时，圆的半径越大，圆心到弦的距离越大．于是当\(BC\)为过线段\(AD\)中点的截面的弦时，四面体\(ABCD\)的体积最大，此时由垂径定理不难得到\[d(AD,BC)=\sqrt{a^2-c^2-1},\]进而可以计算得\[V_{ABCD}=\dfrac{2c}3\sqrt{a^2-c^2-1}.\]

下面给出一道练习．

已知\(AD\)与\(BC\)是四面体\(ABCD\)中互相垂直的棱，若\(BC=2\)，\(AD=4\)，且\(\angle ABD=\angle ACD=60^\circ\)，则四面体\(ABCD\)的体积的最大值是_______．

答案是\(\dfrac{4\sqrt{11}}3\)．

提示    如图，四面体\(ABCD\)的外接球是固定的．