每日一题[275] GPS定位

2012年高考上海卷理科数学第14题（填空压轴题）：

如图，$AD$与$BC$是四面体$ABCD$中互相垂直的棱，$BC=2$．若$AD=2c$，且$AB+BD=AC+CD=2a$，其中$a$、$c$为常数，则四面体$ABCD$的体积的最大值是_______．

---

正确答案是$\dfrac{2c}3\sqrt{a^2-c^2-1}$．

解    首先对于用对边来描述的四面体，我们一般都将其放入平行六面体中，利用平行六面体，如《每日一题[193] 四面体的外接平行六面体》，如图．

这样我们就有对边描述的四面体体积公式

$$V_{ABCD}=\dfrac 16\cdot AD\cdot BC\cdot d(AD,BC)\cdot \sin\langle AD,BC\rangle,$$ 其中$d(AD,BC)$表示异面直线$AD$与$BC$的距离，$\langle AD,BC\rangle$表示异面直线$AD$与$BC$所成的角．

回到本问题，$AB+BD=AC+CD=2a$描述的事实为$B$点和$C$点到两定点$A$、$D$的距离之和为$2a$，于是点$B$、$C$都在以$A$、$D$为焦点的椭球上，如图．利用椭球，不难对四面体$ABCD$的顶点$B$和$C$进行“GPS定位”．

由于$AD\perp BC$，于是$BC$必然为某个垂直于$AD$的平面截椭球形成的圆的弦，且$d(AD,BC)$即该圆的圆心到弦的距离．

我们知道，当弦长固定时，圆的半径越大，圆心到弦的距离越大．于是当$BC$为过线段$AD$中点的截面的弦时，四面体$ABCD$的体积最大，此时由垂径定理不难得到

$$d(AD,BC)=\sqrt{a^2-c^2-1},$$ 进而可以计算得 $$V_{ABCD}=\dfrac{2c}3\sqrt{a^2-c^2-1}.$$

下面给出一道练习．

已知$AD$与$BC$是四面体$ABCD$中互相垂直的棱，若$BC=2$，$AD=4$，且$\angle ABD=\angle ACD=60^\circ$，则四面体$ABCD$的体积的最大值是_______．

答案是$\dfrac{4\sqrt{11}}3$．

提示    如图，四面体$ABCD$的外接球是固定的．