每日一题[251] 有何“璇玑”？

 2015年高考数学新课标I卷（理科）压轴题：

已知函数$f(x)=x^3+ax+\dfrac 14$,$g(x)=-\ln x$．

（1）当$a$为何值时，$x$轴为曲线$y=f(x)$的切线；

（2）用$\min\{m,n\}$表示$m,n$中的最小值，设函数$h(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}(x>0)$，讨论$h(x)$零点的个数．

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解    （1）根据已知，$f'(x)=3x^2+a$．若$x$轴为曲线$y=f(x)$的切线，设切点横坐标为$t$，则有

$$\begin{cases}f(t)=0,\\f'(t)=0,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases}t^3+at+\dfrac 14=0,\\3t^2+a=0,\end{cases}$$ 解得 $$t=\dfrac 12,a=-\dfrac 34.$$ 所以当$a$的值为$-\dfrac 34$时，$x$轴为曲线$y=f(x)$的切线．

（2）注意到$h(x)$的定义域为$\left(0,+\infty\right)$，而$f(0)=\dfrac 14$．我们以点$\left(0,\dfrac 14\right)$为出发点研究函数$f(x)$与$g(x)$图象的位置关系．

函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=3x^2+a,$$ 于是当$a\geqslant 0$时，函数$f(x)$单调递增，如图．

而当$a<0$时，函数$f(x)$先递减再递增，极小值点为$A\left(\sqrt{\dfrac{-a}{3}},\dfrac{2a}3\sqrt{\dfrac{-a}3}+\dfrac 14\right)$．

此时$f(x)$的零点个数由$A$的纵坐标确定，而$f(x)$的零点相对于$g(x)$的零点$x=1$的分布由$A$的横坐标和$f(1)$的正负共同确定（即$B$点相对于$x$轴的位置）．

将三个讨论条件列举出来，分别为$\dfrac{2a}3\sqrt{\dfrac{-a}3}+\dfrac 14$与$0$、$\sqrt{\dfrac{-a}{3}}$与$1$，$a+\dfrac 54$与$0$，因此分界点分别为$-\dfrac 34$、$-3$、$-\dfrac 54$．

第一种情形，$a<-\dfrac 54$时，$A$、$B$均在$x$轴下方，$h(x)$只有$1$个零点，由$f(x)$在区间$(0,1)$上提供；

第二种情形，$a=-\dfrac 54$时，$A$在$x$轴下方，$B$在$x$轴上，于是$h(x)$有$2$个零点，其中一个由$f(x)$在区间$(0,1)$上提供，另一个由$f(x)$和$g(x)$在$x=1$处共同提供；

第三种情形，$-\dfrac 54<a<-\dfrac 34$时，$A$在$x$轴下方，$B$在$x$轴上方，于是$h(x)$有$3$个零点，其中两个由$f(x)$在区间$(0,1)$上提供，另一个由$g(x)$在$x=1$处提供；

第四种情形，$a=-\dfrac 34$时，$A$在$x$轴上，于是$h(x)$有$2$个零点，其中一个由$f(x)$在区间$(0,1)$上提供（即$A$点），另一个由$g(x)$在$x=1$处提供；

第五种情形，$-\dfrac 34<a<0$时，$A$在$x$轴上方，于是$h(x)$有$1$个零点，由$g(x)$在$x=1$处提供．

综上，函数$h(x)$的零点个数为

$$\begin{cases}1,&a<-\dfrac 54\lor a>-\dfrac 34,\\2,&a=-\dfrac 54 \lor a=-\dfrac 34,\\3,&-\dfrac 54<a<-\dfrac 34.\end{cases}$$

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在本题中，$a<0$时的讨论为重难点，而此时$f(x)$的图象酷似北斗七星，其中讨论的出发点为天枢星，关键的讨论点恰好为天璇星与天玑星．在此中秋佳节赏月之际，可以仰望天空回味此题，快哉乐哉！