每日一题[245] 估计零点的位置

估计函数的零点分布是高中数学中常常遇到的问题．在高一的时候，我们通常利用零点的存在性定理进行范围估计，而当我们学习了导数以后，可以更进一步的研究一些深层的细节．

已知函数$f(x)=x-{\rm e}^{\frac xa}$（$a>0$）有两个相异零点$x_1$、$x_2$且$x_1<x_2$，求证：$\dfrac{x_1}{x_2}<\dfrac{\rm e}a$．

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证明    根据已知，函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=1-\dfrac 1a{\rm e}^{\frac xa},$$ 于是函数$f(x)$在$\left(-\infty,a\ln a\right)$上单调递增，在$\left(a\ln a,+\infty\right)$上单调递减，$x=a\ln a$是其极大值点，同时也是最大值点，而最大值为$a\left(\ln a-1\right)$．

根据题意，$f(x)$有两个相异零点，于是有

$$a\left(\ln a-1\right)>0,$$ 即$a>{\rm e}$．再由$f(0)=-1$可得 $$\begin{eqnarray}0<x_1<a\ln a<x_2.\end{eqnarray}$$

对于欲证明不等式，无法直接利用(1)估计左边，因此利用函数$f(x)$的解析式进行代换：

$$\dfrac{x_1}{x_2}={\rm e}^{\frac 1a\left(x_1-x_2\right)},$$ 于是只需要证明 $$\begin{eqnarray}x_2-x_1>a\ln a -a.\end{eqnarray}$$

分析(2)，在(1)中，我们已经有了$x_2>a\ln a$，于是一个自然的推测是尝试证明$x_1<a$，这只需要

$$f(a)=a-{\rm e}>0,$$ 成立即可．

综上，命题得证．

注    图中为$a=1.5{\rm e}$的情形，可以看到$0<x_1<a<a\ln a<x_2$．