每日一题[241] 分析端点

2013年高考浙江卷理科数学第17题（填空压轴题）：

设$a\in\mathcal R$，若$x>0$时均有$\left[(a-1)x-1\right]\left(x^2-ax-1\right)\geqslant 0$，则$a=$_______．

正确答案是$\dfrac 32$．

解    记题中关于$x$的不等式左侧为$g(x,a)$．由于$g(x,a)\geqslant 0$在区间$\left(0,+\infty\right)$上恒成立，分析两个端点$x\to 0$和$x\to +\infty$，应有必要条件 $$\lim_{x\to 0}g(x,a)\geqslant 0\land \lim_{x\to +\infty}g(x,a)\geqslant 0,$$ 于是不难得到 $$a-1\geqslant 0,$$ 即$a\geqslant 1$．

不难验证$a=1$不符合题意．

当$a>1$时，注意到$x^2-ax-1=0$的两个实根一正一负，而$(a-1)x-1=0$有一正根$\dfrac{1}{a-1}$，于是不难推知，这两个方程的正根重合（否则$g(x,a)$在这两个正根之间的取值为负值），因此有 $$\left(\dfrac{1}{a-1}\right)^2-a\cdot\dfrac{1}{a-1}-1=0,$$ 解得 $$a=0\lor a=\dfrac 32.$$ 结合讨论前提，有$a=\dfrac 32$．

接下来$a=\dfrac 32$的充分性容易验证，于是$a$的取值为$\dfrac 32$．

另法（由琴月阳提供）

视$a$为主元，$x$为参数，将不等式两边除以$x^2$，并且整理变形如下： $$\left[a-\left(1+\dfrac 1x\right)\right]\cdot\left[a-\left(x-\dfrac 1x\right)\right]\leqslant 0,$$ 记$\max\left\{1+\dfrac 1x,x-\dfrac 1x\right\}=m(x)$，$\min\left\{1+\dfrac 1x,x-\dfrac 1x\right\}=n(x)$．

由一元二次不等式的解法应有 $$n(x)\leqslant a\leqslant m(x),$$ 即$a\in [n(x),m(x)]$．这个闭区间是一个动区间，随着$x$的取值变化，形成一系列区间，而$a$的可能取值就是所有这些区间的交集．

当$x$的取值合理的时候，这个区间可以充分的小甚至退化成一个点，而$a$始终应该保持在区间内，当区间变成点的时候，别无选择，就应该和该点的数值一致，因此有 $$a=1+\dfrac 1x=x-\dfrac 1x,$$ 解得 $$x=2\land a=\dfrac 32.$$