每日一题[241] 分析端点

2013年高考浙江卷理科数学第17题(填空压轴题):

aR,若x>0时均有[(a1)x1](x2ax1)0,则a=_______.


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正确答案是32

   记题中关于x的不等式左侧为g(x,a).由于g(x,a)0在区间(0,+)上恒成立,分析两个端点x0x+,应有必要条件limx0g(x,a)0limx+g(x,a)0,

于是不难得到a10,
a1

不难验证a=1不符合题意.

QQ20150917-1

a>1时,注意到x2ax1=0的两个实根一正一负,而(a1)x1=0有一正根1a1,于是不难推知,这两个方程的正根重合(否则g(x,a)在这两个正根之间的取值为负值),因此有(1a1)2a1a11=0,

解得a=0a=32.
结合讨论前提,有a=32

接下来a=32的充分性容易验证,于是a的取值为32


另法(由琴月阳提供)

a为主元,x为参数,将不等式两边除以x2,并且整理变形如下:[a(1+1x)][a(x1x)]0,

max{1+1x,x1x}=m(x)min{1+1x,x1x}=n(x)

由一元二次不等式的解法应有n(x)am(x),

a[n(x),m(x)].这个闭区间是一个动区间,随着x的取值变化,形成一系列区间,而a的可能取值就是所有这些区间的交集.

x的取值合理的时候,这个区间可以充分的小甚至退化成一个点,而a始终应该保持在区间内,当区间变成点的时候,别无选择,就应该和该点的数值一致,因此有a=1+1x=x1x,

解得x=2a=32.

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每日一题[241] 分析端点》有2条回应

  1. Pingback引用通告: 每日一[241]的另解 | Math173

  2. sunshine19816说:

    因为对任意的x0恒成立,特殊法缩小a的范围,取x10a2,取x2a只能为32,验证32成立即可

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