2013年高考浙江卷理科数学第17题(填空压轴题):
设a∈R,若x>0时均有[(a−1)x−1](x2−ax−1)⩾0,则a=_______.
正确答案是32.
解 记题中关于x的不等式左侧为g(x,a).由于g(x,a)⩾0在区间(0,+∞)上恒成立,分析两个端点x→0和x→+∞,应有必要条件limx→0g(x,a)⩾0∧limx→+∞g(x,a)⩾0,
于是不难得到a−1⩾0,
即a⩾1.
不难验证a=1不符合题意.
当a>1时,注意到x2−ax−1=0的两个实根一正一负,而(a−1)x−1=0有一正根1a−1,于是不难推知,这两个方程的正根重合(否则g(x,a)在这两个正根之间的取值为负值),因此有(1a−1)2−a⋅1a−1−1=0,
解得a=0∨a=32.
结合讨论前提,有a=32.
接下来a=32的充分性容易验证,于是a的取值为32.
视a为主元,x为参数,将不等式两边除以x2,并且整理变形如下:[a−(1+1x)]⋅[a−(x−1x)]⩽0,
记max{1+1x,x−1x}=m(x),min{1+1x,x−1x}=n(x).
由一元二次不等式的解法应有n(x)⩽a⩽m(x),
即a∈[n(x),m(x)].这个闭区间是一个动区间,随着x的取值变化,形成一系列区间,而a的可能取值就是所有这些区间的交集.
当x的取值合理的时候,这个区间可以充分的小甚至退化成一个点,而a始终应该保持在区间内,当区间变成点的时候,别无选择,就应该和该点的数值一致,因此有a=1+1x=x−1x,
解得x=2∧a=32.
Pingback引用通告: 每日一[241]的另解 | Math173
因为对任意的x>0恒成立,特殊法缩小a的范围,取x=1的0⩽a⩽2,取x=2时a只能为32,验证32成立即可