每日一题[236] 顺藤摸瓜

已知$x,y,z$均为非负实数，$x+y+z=3$，求证：$x^2y+y^2z+z^2x\leqslant 4$．

证明    注意到等号当$(x,y,z)=(2,1,0)$时取得．

不妨设$x$为最大数，以$x$为主要目标整理： $$x^2y+y^2z+z^2x=x^2y+z\left(xz+y^2\right),$$ 取 $$\left(x+\dfrac 12z\right)^2\left(y+\dfrac 12z\right)=x^2y+z\left(xy+\dfrac 12x^2+\dfrac 12xz+\dfrac 14yz+\dfrac 18z^2\right),$$ 不难得到 $$x^2y+y^2z+z^2x\leqslant \left(x+\dfrac 12z\right)^2\left(y+\dfrac 12z\right),$$ 接下来应用均值不等式即得 $$\begin{split}\left(x+\dfrac 12z\right)^2\left(y+\dfrac 12z\right)&=\dfrac{1}{2}\cdot\left(x+\dfrac 12z\right)\cdot\left(x+\dfrac 12z\right)\cdot\left(2y+z\right)\\&\leqslant \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{x+\dfrac 12z+x+\dfrac 12z+2y+z}{3}\right)^3\\&=4,\end{split}$$ 原不等式得证．

注    本题从不等式的取等条件入手确定以最大数为整理目标巧妙将左边化为均值不等式容易处理的情形．在取等条件不对称的不等式证明中，从取等条件入手构造中间不等式是一种重要而富有技巧性的作法．