每日一题[2] 二次曲线上的四点共圆

已知抛物线 $y^2=2px(p>0)$ ， $AB$ 为过抛物线焦点 $F$ 的弦， $AB$ 的中垂线交抛物线 $E$ 于点 $M$ 、 $N$ ．若 $A$ 、 $M$ 、 $B$ 、 $N$ 四点共圆，求直线 $AB$ 的方程．

QQ20150101-3

设圆的两条弦所在直线的交点为 $P(x_0,y_0)$ ，过 $P$ 的直线

$l:\begin{cases}x=x_0+t,\\y=y_0+kt,\end{cases}$

则与抛物线联立可得

$(y_0+kt)^2=2p(x_0+t),$

整理得

$k^2t^2+(2y_0k-2p)t+y_0^2-2px_0=0.$

于是

$t_1t_2=\frac{y_0^2-2px_0}{k^2}.$

因此 $k_{AB}=-k_{MN}$ ．

结合本题已知 $AB\perp MN$ ，于是

$k_{AB}=\pm 1.$

因此直线 $AB$ 的方程为

$y=\pm x\mp \frac p2.$

注一事实上，本题中 $k_{AB}=-k_{MN}$ 的结论可以推广到对任意二次曲线都成立．

注二本题与2014年全国高中数学联赛河南省预赛第10题基本相同．

2015年8月11日补充练习题：

（2014年全国高中数学联赛湖北省预赛第12题）设 $A$ 、 $B$ 是双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{2}=\lambda$ 上的两点，点 $N(1,2)$ 是线段 $AB$ 的中点，线段 $AB$ 的垂直平分线交双曲线于 $C$ 、 $D$ 两点．

（1）确定 $\lambda$ 的取值范围；

（2）试判断 $A,B,C,D$ 是否四点共圆？并说明理由．

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