每日一题[1] 特殊三角形的极坐标表达

求抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的内接等腰直角三角形面积的最小值．

设抛物线的内接等腰直角三角形为\(\triangle ABC\)，直角顶点为\(A(2pt^2,2pt)\)，平移坐标系，使得原点为\(A\)，则抛物线方程变为

\[(y+2pt)^2=2p(x+2pt^2),\]

即\[y^2+4pty-2px=0.\]

此时，可设\(B(r\cos\theta,r\sin\theta)\)，\(C(-r\sin\theta,r\cos\theta)\)，则

\[r^2\sin^2\theta+4pt\cdot r\sin\theta-2p\cdot r\cos\theta=0,\\r^2\cos^2\theta+4pt\cdot r\cos\theta+2p\cdot r\sin\theta=0.\]

于是\[4t=\dfrac{2p\cos\theta-r\sin^2\theta}{p\sin\theta}=\dfrac{2p\sin\theta+r\cos^2\theta}{-p\cos\theta},\]

从而解得\[r=\dfrac{2p}{\sin\theta\cdot\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)}.\]

其中，令\(S=\sin\theta\cdot\cos\theta\)，则由于\(\theta\in\left(-\dfrac{\pi}2,0\right)\)，于是\(S\in\left[-\dfrac 12,0\right)\)．

此时\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 12r^2=\dfrac{2p^2}{s^2(1-2s)},\]

于是当\(s=-\dfrac 12\)，即\(\theta=-\dfrac{\pi}4\)时，\(\triangle ABC\)的面积取得最小值为\(4p^2\)．

注    此题为2014年北京市海淀区查漏补缺题改编而成．

另法    设\(A\left(\dfrac{a^2}{2p},a\right),B\left(\dfrac{b^2}{2p},b\right),C\left(\dfrac{c^2}{2p},c\right)\)，则\[\begin{split}S_{\triangle ABC}&=\dfrac 12AB^2\\&=\dfrac 12\left[(a-b)^2+(c-a)^2\right]\\&=\dfrac 12[2a^2-2a(b+c)+b^2+c^2].\end{split}\]

又\(AC\perp AB\),于是\[\dfrac{c-a}{\dfrac{c^2}{2p}-\dfrac{a^2}{2p}}\cdot\dfrac{b-a}{\dfrac{b^2}{2p}-\dfrac{a^2}{2p}}=-1,\]整理得\[a(b+c)=-a^2-bc-4p^2,\]

代入面积的计算式可得\[S_{\triangle ABC}=2a^2+\dfrac 12(b+c)^2+4p^2.\]

于是当\(A(0,0),B(2p,2p),C(2p,-2p)\)时，抛物线的内接等腰直角三角形面积最小，最小值为\(4p^2\)．