2003年全俄中学生数学奥林匹克十年级第5题：
非负有理数列\(A_1,A_2,A_3,\cdots\)满足\(\forall m,n\in\mathcal N^*,A_m+A_n=A_{mn}\)，证明：该数列中必然存在相同的数．
证明 用反证法．
若不然，则令\(m=n=1\)，根据已知有\[A_1+A_1=A_1,\]于是\[A_1=0,\]因此数列中其余各项均不为\(0\)．
令\(A_2=\dfrac pq\)，\(A_3=\dfrac rs\)，则由题中条件可知\[A_{m^k}=kA_m,\]于是\[A_{2^{qr}}=qr\cdot\dfrac pq=pr=ps\cdot\dfrac rs=A_{3^{ps}},\]但是\(2^{qr}\neq 3^{ps}\)，矛盾．
因此原命题得证．