每日一题[217] 构造与论证

2003年全俄中学生数学奥林匹克十年级第5题：

非负有理数列$A_1,A_2,A_3,\cdots$满足$\forall m,n\in\mathcal N^*,A_m+A_n=A_{mn}$，证明：该数列中必然存在相同的数．

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证明    用反证法．

若不然，则令$m=n=1$，根据已知有

$$A_1+A_1=A_1,$$ 于是 $$A_1=0,$$ 因此数列中其余各项均不为$0$．

令$A_2=\dfrac pq$，$A_3=\dfrac rs$，则由题中条件可知

$$A_{m^k}=kA_m,$$ 于是 $$A_{2^{qr}}=qr\cdot\dfrac pq=pr=ps\cdot\dfrac rs=A_{3^{ps}},$$ 但是$2^{qr}\neq 3^{ps}$，矛盾．

因此原命题得证．