每日一题[182] 迭代函数法

2015年北京市人大附中高二期末考试压轴题：

数列$\{a_n\}$满足：$a_{n+1}=3a_n-3a_n^2$，$n=1,2,3,\cdots$．

（1）若数列$\{a_n\}$为常数列，求$a_1$的值；

（2）若$a_1=\dfrac 12$，求证：$\dfrac 23<a_{2n}\leqslant \dfrac 34$；

（3）在（2）的条件下，求证：数列$\{a_{2n}\}$单调递减．

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（1）解    解不动点方程

$$x=3x-3x^2,$$ 得 $$x=0\lor x=\dfrac 23.$$ 于是$a_1$的值为$0$或$\dfrac 23$．

（2）证明    如图，将命题加强为

$$\begin{cases}\dfrac 12\leqslant a_{2n-1} < \dfrac 23,\\\dfrac 23<a_{2n}\leqslant \dfrac 34.\end{cases}$$ 下面用数学归纳法证明．

当$n=1$时，显然有$\dfrac 12\leqslant a_1<\dfrac 23$且$\dfrac 23<a_2\leqslant \dfrac 34$；

假设命题对$n$成立，则由于函数$f(x)=3x-3x^2$在区间$\left[\dfrac 12,\dfrac 34\right]$上单调递减，于是

$$f\left(\dfrac 23\right)>f\left(a_{2n}\right)\geqslant f\left(\dfrac 34\right),$$ 即 $$\dfrac{9}{16}\leqslant a_{2n+1}<\dfrac 23,$$ 从而 $$\dfrac 12\leqslant a_{2n+1}<\dfrac 23.$$ 再次利用函数$f(x)$的单调性可得 $$f\left(\dfrac 12\right) \geqslant f\left(a_{2n+1}\right) > f\left(\dfrac 23\right),$$ 即 $$\dfrac 23<a_{2n+2}\leqslant \dfrac 34,$$ 于是命题对$n+1$也成立．

综上，命题得证．

（3）证明   与（2）类似，将命题加强为数列$\{a_{2n-1}\}$单调递增，且数列$\{a_{2n}\}$单调递减．

根据已知，$a_1=\dfrac 12$，$a_2=\dfrac 34$，$a_3=\dfrac 9{16}$，于是

$$a_1<a_3\Rightarrow f(a_1)>f(a_3)\Rightarrow a_2>a_4,$$ 于是归纳基础得证．

假设命题对$n$成立，即$a_{2n-1}<a_{2n+1}$，且$a_{2n}>a_{2n+2}$，则有

$$f\left(a_{2n}\right)<f\left(a_{2n+2}\right)\Rightarrow a_{2n+1}< a_{2n+3},$$ 进而 $$f\left(a_{2n+1}\right)>f\left(a_{2n+3}\right) \Rightarrow a_{2n+2}>a_{2n+4},$$ 于是命题对$n+1$也成立．

综上，命题得证．

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注    菁优网给出的解答：

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/d5df81c5-408c-4a73-9c52-790e10e87c73