每日一题[181]定比点差法

2011年高考浙江卷理科数学第16题：

设\(F_1\)、\(F_2\)分别为椭圆\(\dfrac{x^2}3+y^2=1\)的左、右焦点，点\(A\)、\(B\)在椭圆上，且\(\overrightarrow{F_1A}=5\overrightarrow{F_2B}\)，则点\(A\)的坐标是_______．

正确答案是\((0,1)\lor (0,-1)\)．

如图，延长\(AF_1\)交椭圆于\(C\)，则\(\overrightarrow{AF_1}=5\overrightarrow{F_1C}\)，设\(A(x_1,y_1)\)、\(C(x_2,y_2)\)，则根据定比分点坐标公式有\(F_1\)的坐标\[\left(\dfrac{x_1+5x_2}{6},\dfrac{y_1+5y_2}{6}\right)=(-\sqrt 2,0),\]从而\[x_1+5x_2=-6\sqrt 2,y_1+5y_2=0.\]

另一方面，由\[\dfrac{x_1^2}{3}+y_1^2=1,\dfrac{25x_2^2}{3}+25y_2^2=25\]相减可得\[\dfrac{(x_1+5x_2)(x_1-5x_2)}{3}+(y_1+5y_2)(y_1-5y_2)=-24,\]从而可得\[x_1-5x_2=6\sqrt 2.\]

因此以上两式相加，可得\(x_1=0\)，进而可得\(A=(0,\pm 1)\)．

注    （定比分点坐标公式）设\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，若\(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}\)，\(\lambda\neq -1\)，则\(P\)点的坐标为\[\left(\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right).\]